ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΝΟΜΙΣΜΑΤΩΝ

Ένας αριθμός νομισμάτων, έστω ν, με την κεφαλή από πάνω, βρίσκονται το ένα δίπλα στο άλλο σε μια σειρά. Αν η αντιστροφή μ νομισμάτων θεωρηθεί ως μία κίνηση, για ποιες τιμές του ν και του μ μπορείτε να αντιστρέψετε τα ν νομίσματα, έτσι ώστε να έχουν τα γράμματα από πάνω;

Κάθε νόμισμα πρέπει να αντιστραφεί περιττό αριθμό φορών για να αναποδογυριστεί. Επομένως, το συνολικό πλήθος των αντιστροφών θα είναι άρτιο αν ο αριθμός των νομισμάτων ν είναι άρτιος (άθροισμα άρτιου αριθμού περιττών προσθετέων) και περιττό αν ο αριθμός των νομισμάτων είναι περιττός (άθροισμα περιττού αριθμού περιττών προσθετέων).

Το συνολικό πλήθος των αντιστροφών είναι επίσης πολλαπλάσιο του πλήθους των νομισμάτων μ που αντιστρέφονται σε κάθε κίνηση.

Διακρίνονται οι εξής περιπτώσεις:

Α) Το πλήθος των νομισμάτων ν είναι άρτιο και το πλήθος των νομισμάτων μ που αντιστρέφονται σε κάθε κίνηση είναι περιττό.

Σε αυτή την περίπτωση, το συνολικό πλήθος των αντιστροφών που απαιτούνται για να αναποδογυριστούν όλα τα νομίσματα είναι άρτιο και το πλήθος των κινήσεων πρέπει να είναι άρτιο, αφού το πλήθος των νομισμάτων μ που αντιστρέφονται σε κάθε κίνηση είναι περιττό.

Β) Το πλήθος των νομισμάτων ν είναι περιττό και το πλήθος των νομισμάτων μ που αντιστρέφονται σε κάθε κίνηση είναι περιττό.

Σε αυτή την περίπτωση, το συνολικό πλήθος των αντιστροφών που απαιτούνται για να αναποδογυριστούν όλα τα νομίσματα είναι περιττό και το πλήθος των κινήσεων πρέπει να είναι περιττό, αφού το πλήθος των νομισμάτων μ που αντιστρέφονται σε κάθε κίνηση είναι περιττό.

Γ) Το πλήθος των νομισμάτων ν είναι άρτιο και το πλήθος των νομισμάτων μ που αντιστρέφονται σε κάθε κίνηση είναι άρτιο.

Σε αυτή την περίπτωση, το συνολικό πλήθος των αντιστροφών που απαιτούνται για να αναποδογυριστούν όλα τα νομίσματα είναι άρτιο και το πλήθος των κινήσεων μπορεί να είναι είτε άρτιο είτε περιττό, αφού το πλήθος των νομισμάτων μ που αντιστρέφονται σε κάθε κίνηση είναι άρτιο.

Δ) Το πλήθος των νομισμάτων ν είναι περιττό και το πλήθος των νομισμάτων μ που αντιστρέφονται σε κάθε κίνηση είναι άρτιο.

Σε αυτή την περίπτωση, δεν είναι δυνατόν να αναποδογυριστούν όλα τα νομίσματα, αφού το συνολικό πλήθος των αντιστροφών που απαιτούνται είναι περιττό και το πλήθος των νομισμάτων μ που αντιστρέφονται σε κάθε κίνηση είναι άρτιο.

Για τις δύο πρώτες περιπτώσεις, Α και Β, μια προφανής λύση είναι να αντιστραφούν μ νομίσματα, μετά τα επόμενα μ κ.ο.κ. (όταν φτάσει κανείς στο τέλος της σειράς πηγαίνει στην αρχή της και συνεχίζει να αντιστρέφει τα νομίσματα). Έπειτα από ν τέτοιες κινήσεις, θα έχει αντιστραφεί μ φορές το καθένα και θα έχει τα γράμματα από πάνω (μν αντιστροφές/ν νομίσματα = μ αντιστροφές/νόμισμα).

Η συντομότερη όμως λύση και για τις τρεις περιπτώσεις είναι η εξής:

Αντιστρέφετε μ νομίσματα και μετά τα επόμενα μ μέχρι να μείνει άρτιος αριθμός νομισμάτων με την κεφαλή από πάνω μικρότερος του 2μ (στην Α περίπτωση μπορεί να χρειαστεί να αντιστρέψετε νομίσματα για δεύτερη φορά). Έπειτα, αντιστρέφετε τα μισά από αυτά τα νομίσματα, έστω κ, καθώς και μ – κ νομίσματα με τα γράμματα από πάνω. Έτσι, μένουν κ και μ – κ νομίσματα με την κεφαλή από πάνω, συνολικά μ νομίσματα, τα οποία αντιστρέφετε με μια τελευταία κίνηση.

---

Παραδείγματα

Οι αρχικές όψεις των νομισμάτων και οι όψεις τους έπειτα από την κάθε κίνηση παριστάνονται με γράμματα —Κ για την κεφαλή και Γ για τα γράμματα.

Α) ν άρτιος, μ περιττός

ν = 8, μ = 3

Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ

Γ Γ Γ Κ Κ Κ Κ Κ

Γ Γ Γ Γ Γ Γ Κ Κ

Γ Γ Γ Γ Κ Κ Γ Κ

Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ

ν = 8, μ = 5

Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ

Γ Γ Γ Γ Γ Κ Κ Κ

Κ Κ Γ Γ Γ Γ Γ Γ

Γ Κ Κ Κ Κ Κ Γ Γ

Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ

ν = 12, μ = 5

Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ

Γ Γ Γ Γ Γ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ

Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Κ Κ

Γ Γ Γ Γ Γ Γ Κ Κ Κ Κ Γ Κ

Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ

Β) ν περιττός, μ περιττός

ν = 5, μ = 3

Κ Κ Κ Κ Κ

Γ Γ Γ Κ Κ

Γ Κ Κ Γ Κ

Γ Γ Γ Γ Γ

ν = 7, μ = 3

Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ

Γ Γ Γ Κ Κ Κ Κ

Γ Γ Κ Γ Γ Κ Κ

Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ

ν = 9, μ = 5

Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ

Γ Γ Γ Γ Γ Κ Κ Κ Κ

Γ Γ Κ Κ Κ Γ Γ Κ Κ

Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ

ν = 11, μ = 5

Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ

Γ Γ Γ Γ Γ Κ Κ Κ Κ Κ Κ

Γ Γ Γ Κ Κ Γ Γ Γ Κ Κ Κ

Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ

Γ) ν άρτιος, μ άρτιος

ν = 6, μ = 4

Κ Κ Κ Κ Κ Κ

Γ Γ Γ Γ Κ Κ

Γ Κ Κ Κ Γ Κ

Γ Γ Γ Γ Γ Γ

ν = 10, μ = 4

Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ

Γ Γ Γ Γ Κ Κ Κ Κ Κ Κ

Γ Γ Γ Κ Γ Γ Γ Κ Κ Κ

Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ