ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΙ

Τετραγωνισμός ορθογωνίου
Τετραγωνισμός ορθογωνίου που έχει δύο γωνίες κομμένες (Ι)
Τετραγωνισμός ορθογωνίου που έχει δύο γωνίες κομμένες (ΙΙ)
Τετραγωνισμός ορθογωνίου που έχει δύο γωνίες κομμένες (ΙΙΙ)
Τετραγωνισμός ορθογωνίου που έχει μία γωνία κομμένη
Τετραγωνισμός ορθογωνίου που έχει δύο προεξοχές

1. Τετραγωνισμός ορθογωνίου

Το παρακάτω ορθογώνιο χωρίζεται με μια τεθλασμένη γραμμή σε δύο ίσα τμήματα, τα οποία συνδυαζόμενα κατάλληλα σχηματίζουν ένα τετράγωνο. Η τεθλασμένη γραμμή που χωρίζει το ορθογώνιο μοιάζει με σκαλοπάτια.

Εύρεση των διαστάσεων ορθογωνίων τα οποία μετατρέπονται σε τετράγωνα με τη μέθοδο των σκαλοπατιών

Έστω β και γ οι πλευρές ενός ορθογωνίου στο οποίο εφαρμόζεται αυτή η μέθοδος, κ ο αριθμός των σκαλοπατιών, x το οριζόντιο τμήμα τους, y το κάθετο τμήμα τους και α η πλευρά του τετραγώνου που σχηματίζεται από τα τμήματα του ορθογωνίου.

Τότε, β = (κ + 1)x και γ = κy.

Επίσης, α = β – x = κx και α = γ + y = (κ + 1)y.

Άρα, κx = (κ + 1)y ή x/y = (κ + 1)/κ.

Επομένως, β/γ = (κ + 1)x/κy = (κ + 1)/κ.

Επομένως, η μέθοδος εφαρμόζεται σε ορθογώνια που οι διαστάσεις τους έχουν λόγο

β/γ = 2/1 = 4/1 ή β/γ = 3/2 = 9/4 ή β/γ = 4/3 = 16/9 κ.ο.κ.

Για παράδειγμα, σε ένα ορθογώνιο που έχει διαστάσεις β = 16 μονάδες και γ = 9 μονάδες, x = β/(κ + 1) = 16/4 = 4 μονάδες και y = γ/κ = 9/3 = 3 μονάδες.

Αν κ =1, β/γ = 4 και το ορθογώνιο χωρίζεται με μια ευθεία γραμμή στη μέση.

2. Τετραγωνισμός ορθογωνίου που έχει δύο γωνίες κομμένες (Ι)

Το παρακάτω ορθογώνιο, από το οποίο λείπουν δύο γωνίες, χωρίζεται με μια τεθλασμένη γραμμή σε δύο ίσα τμήματα, τα οποία συνδυαζόμενα κατάλληλα σχηματίζουν ένα τετράγωνο. Η τεθλασμένη γραμμή που χωρίζει το ορθογώνιο μοιάζει με τα δόντια πριονιού.

Εύρεση των διαστάσεων ορθογωνίων με δύο κομμένες γωνίες τα οποία μετατρέπονται σε τετράγωνα με τη μέθοδο της οδοντωτής τεθλασμένης γραμμής

Έστω β και γ οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου με δύο κομμένες γωνίες στο οποίο εφαρμόζεται η μέθοδος της οδοντωτής τεθλασμένης γραμμής, x και δ οι κάθετες πλευρές των κομμένων γωνιών, κ ο αριθμός των δοντιών της τεθλασμένης γραμμής, y η διαφορά του ύψους τους και α η πλευρά του τετραγώνου που σχηματίζεται από τα δύο τμήματα του ελλιπούς ορθογωνίου.

Τότε, β = (κ + 1)x και γ = κy + δ = (κ + λ)y, όπου λ = δ/y.

Επίσης, α = β – x = κx και α = γ + y = (κ + λ)y + y = (κ + λ + 1)y.

Άρα, κx = (κ + λ +1)y και x/y = 1 + (λ + 1)/κ.

Επομένως, β/γ = (κ + 1)(κ + λ + 1)/κ(κ + λ).

Α) Αν κ = 1, λ = 1, τότε x/y = 1 + (1 + 1)/1 = 3.

Για x = 3, y = 1, είναι β = (1 + 1)3 = 6, γ = (1 + 1)1 = 2 και δ = 1.

Β) Αν κ = 2, λ = 1, τότε x/y = 1 + (1 + 1)/2 = 2.

Για x = 2, y = 1, είναι β = (2 + 1)2 = 6, γ = (2 + 1)1 = 3 και δ = 1.

Γ) Αν κ = 2, λ = 3, τότε x/y = 1 + (3 + 1)/2 = 1 + 2 = 3.

Για x = 3, y = 1, είναι β = (2 + 1)3 = 9, γ = (2 + 3)1 = 5 και δ = 3.

Δ) Αν κ = 3, λ = 2, τότε x/y = 1 + (2 + 1)/3 = 1 + 1 = 2.

Για x = 2, y = 1, είναι β = (3 + 1)2 = 8, γ = (3 + 2)1 = 5 και δ = 2.

Ε) Αν κ = 3, λ = 1/2, τότε x/y = 1 + (3/2)/3 = 1 + 1/2 = 3/2.

Για x = 3, y = 2, είναι β = (3 + 1)3 = 12, γ = (3 + 1/2)2 = 7 και δ = 1.

ΣΤ) Αν κ = 4, λ = 3, τότε x/y = 1 + (3 + 1)/4 = 2.

Για x = 2, y = 1, είναι β = (4 + 1)2 = 10, γ = (4 + 3)1 = 7 και δ = 3.

Ζ) Αν κ = 5, λ = 4, τότε x/y = 1 + (4 + 1)/5 = 2.

Για x = 2, y = 1, είναι β = (5 + 1)2 = 12, γ = (5 + 4)1 = 9 και δ = 4.

3. Τετραγωνισμός ορθογωνίου που έχει δύο γωνίες κομμένες (ΙΙ)

Εύρεση των διαστάσεων ορθογωνίων με δύο κομμένες γωνίες τα οποία μετατρέπονται σε τετράγωνα με τη μέθοδο των σκαλοπατιών

Έστω β και γ οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου με δύο κομμένες γωνίες στο οποίο εφαρμόζεται η μέθοδος των σκαλοπατιών, x και δ οι διαστάσεις των κομμένων τμημάτων, κ ο αριθμός των σκαλοπατιών, y το κάθετο τμήμα τους και α η πλευρά του τετραγώνου που σχηματίζεται από τα δύο τμήματα του ελλιπούς ορθογωνίου.

Τότε, β = (κ + 1)x και γ = κy + 2δ = (κ + 2λ)y, όπου λ = δ/y.

Επίσης, α = β – x = κx και α = γ + y = (κ + 2λ)y + y = (κ + 2λ + 1)y.

Άρα, κx = (κ + 2λ +1)y και x/y = 1 + (2λ + 1)/κ.

Επομένως, β/γ = (κ + 1)(κ + 2λ + 1)/κ(κ + 2λ).

Α) Αν κ = 1, λ = 1, τότε x/y = 1 + (2 + 1)/1 = 4.

Για x = 4, y = 1, είναι β = (1 + 1)4 = 8, γ = (1 + 2·1)1 = 3 και δ = 1.

Β) Αν κ = 2, λ = 1/2, τότε x/y = 1 + (1 + 1)/2 = 2.

Για x = 4, y = 2, είναι β = (2 + 1)4 = 12, γ = (2 + 1)2 = 6 και δ = 1.

Γ) Αν κ = 3, λ = 1, τότε x/y = 1 + (2 + 1)/3 = 1 + 3/3 = 2.

Για x = 2, y = 1, είναι β = (3 + 1)2 = 8, γ = (3 + 2·1)1 = 5 και δ = 1.

Δ) Αν κ = 5, λ = 2, τότε x/y = 1 + (2·2 + 1)/5 = 1 + 5/5 = 2.

Για x = 2, y = 1, είναι β = (5 + 1)2 = 12, γ = (5 + 2·2)1 = 9 και δ = 2.

4. Τετραγωνισμός ορθογωνίου που έχει δύο γωνίες κομμένες (ΙΙΙ)

Το παρακάτω ορθογώνιο, από το οποίο λείπουν δύο γωνίες, χωρίζεται με μια τεθλασμένη γραμμή σε δύο ίσα τμήματα, τα οποία συνδυαζόμενα κατάλληλα σχηματίζουν ένα τετράγωνο. Η τεθλασμένη γραμμή που χωρίζει το ορθογώνιο αποτελείται από μια σειρά στηλών.

Εύρεση των διαστάσεων ορθογωνίων με δύο κομμένες γωνίες τα οποία μετατρέπονται σε τετράγωνα με τη μέθοδο των στηλών

Έστω β και γ οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου με δύο κομμένες γωνίες στο οποίο εφαρμόζεται η μέθοδος των στηλών, κ το πλήθος των στηλών, x το μήκος του επαναλαμβανόμενου τμήματος, y η διαφορά ύψους των διαδοχικών στηλών, ε και δ οι διαστάσεις του ενός κομμένου ορθογώνιου τμήματος, x ‒ ε και δ οι διαστάσεις του άλλου και α η πλευρά του τετραγώνου που σχηματίζεται από τα δύο τμήματα του ελλιπούς ορθογωνίου.

Τότε, β = (κ + 1)x και γ = κy + δ = (κ + λ)y, όπου δ = λy.

Επίσης, α = β – x = κx και α = γ + y -= (κ + λ)y + y =(κ + λ + 1)y.

Άρα, κx = (κ + λ + 1)y και x/y = 1 + (λ + 1)/κ.

Επομένως, β/γ = (κ + 1)(κ + λ + 1)/κ(κ + λ).

Θεωρήστε ότι ε = μ x, όπου μ<1. Αν το μ δεν είναι ίσο με 1/2, τα δύο τμήματα του ελλιπούς ορθογωνίου δεν είναι ίσα.

Α) Αν κ = 1, λ = 2, τότε x/y = 1 + (2 + 1)/1 = 4.

Για x = 4, y = 1, μ = 1/2, είναι β = (1 + 1)4 = 8, γ = (1 + 2)1 = 3, δ = 2 και ε = 2.

Β) Αν κ = 1, λ = 2, τότε x/y = 1 + (2 + 1)/1 = 4.

Για x = 4, y = 1, μ = 3/4, είναι β = (1 + 1)4 = 8, γ = (1 + 2)1 = 3, δ = 2 και ε = 3.

Γ) Αν κ = 2, λ = 1, τότε x/y = 1 + (1 + 1)/2 = 2.

Για x = 2, y = 1, μ = 1/2, είναι β = (2 + 1)2 = 6, γ = (2 + 1)1 = 3, δ = 1 και ε = 1.

Δ) Αν κ = 2, λ = 3, τότε x/y = 1 + (3 + 1)/2 = 3.

Για x = 3, y = 1, μ = 2/3, είναι β = (2 + 1)3 = 9, γ = (2 + 3)1 = 5, δ = 3 και ε = 2.

Ε) Αν κ = 3, λ = 2, τότε x/y = 1 + (2 + 1)/3 = 1 + 1 = 2.

Για x = 2, y = 1, μ = 1/2, είναι β = (3 + 1)2 = 8 και γ = (3 + 2)1 = 5, δ = 2 και ε = 1.

ΣΤ) Αν κ = 3, λ = 1/2, τότε x/y = 1 + (1/2 + 1)/3 = 1 + 1/2 = 3/2.

Για x = 3, y = 2, μ = 2/3, είναι β = (3 + 1)3 = 12 και γ = (3 + 1/2)2 = 7, δ = 1 και ε = 2.

Ζ) Αν κ = 3, λ = 5, τότε x/y = 1 + (5 + 1)/3 = 1 + 2 = 3.

Για x = 3, y = 1, μ = 2/3, είναι β = (3 + 1)3 = 12 και γ = (3 + 5)1 = 8, δ = 5 και ε = 2.

Η) Αν κ = 4, λ = 3, τότε x/y = 1 + (3 + 1)/4 = 2.

Για x = 2, y = 1, μ = 1/2, είναι β = (4 + 1)2 = 10 και γ = (4 + 3)1 = 7, δ = 3 και ε = 1.

5. Τετραγωνισμός ορθογωνίου που έχει μία γωνία κομμένη

Το παρακάτω ορθογώνιο, από το οποίο λείπει μία γωνία, χωρίζεται με μια τεθλασμένη γραμμή σε δύο τμήματα, τα οποία συνδυαζόμενα κατάλληλα σχηματίζουν ένα τετράγωνο. Η τεθλασμένη γραμμή που χωρίζει το ορθογώνιο μοιάζει με σκαλοπάτια.

Εύρεση των διαστάσεων ορθογωνίων με κομμένο ένα ορθογώνιο τμήμα από μια γωνία τους τα οποία μετατρέπονται σε τετράγωνα με τη μέθοδο των σκαλοπατιών

Έστω β και γ οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου με μία κομμένη γωνία στο οποίο εφαρμόζεται η μέθοδος των σκαλοπατιών, x και δ οι διαστάσεις του κομμένου τμήματος, κ ο αριθμός των σκαλοπατιών, y το κάθετο τμήμα τους και α η πλευρά του τετραγώνου που σχηματίζεται από τα δύο τμήματα του ελλιπούς ορθογωνίου.

Τότε, β = (κ + 1)x και γ = κy + δ = (κ + λ)y, όπου λ = δ/y.

Επίσης, α = β – x = κx και α = γ + y = (κ + λ)y + y = (κ + λ +1)y.

Άρα, κx = (κ + λ +1)y και x/y = 1 + (λ + 1)/κ.

Επομένως, β/γ = (κ + 1)(κ + λ + 1)/κ(κ + λ).

Α) Αν κ = 1, λ = 1, τότε x/y = 1 + (1 + 1)/1 = 3.

Για x = 3, y = 1, είναι β = (1 + 1)3 = 6, γ = (1 + 1)1 = 2 και δ = 1.

Β) Αν κ = 2, λ = 1, τότε x/y = 1 + (1 + 1)/2 = 2.

Για x = 2, y = 1, είναι β = (2 + 1)2 = 6, γ = (2 + 1)1 = 3 και δ = 1.

Γ) Αν κ = 2, λ = 3, τότε x/y = 1 + (3 + 1)/2 = 1 + 4/2 = 3.

Για x = 3, y = 1, είναι β = (2 + 1)3 = 9, γ = (2 + 3)1 = 5 και δ = 3.

Δ) Αν κ = 3, λ = 2, τότε x/y = 1 + (2 + 1)/3 = 1 + 1 = 2.

Για x = 2, y = 1, είναι β = (3 + 1)2 = 8, γ = (3 + 2)1 = 5 και δ = 2.

Ε) Αν κ = 3, λ = 1/2, τότε x/y = 1 + (3/2)/3 = 1 + 1/2 = 3/2.

Για x = 3, y = 2, είναι β = (3 + 1)3 = 12, γ = (3 + 1/2)2 = 7 και δ = 1.

ΣΤ) Αν κ = 4, λ = 3, τότε x/y = 1 + (3 + 1)/4 = 2.

Για x = 2, y = 1, είναι β = (4 + 1)2 = 10, γ = (4 + 3)1 = 7 και δ = 3.

Ζ) Αν κ = 5, λ = 4, τότε x/y = 1 + (4 + 1)/5 = 2.

Για x = 2, y = 1, είναι β = (5 + 1)2 = 12, γ = (5 + 4)1 = 9 και δ = 4.

6. Τετραγωνισμός ορθογωνίου που έχει δύο προεξοχές

Το παρακάτω ορθογώνιο, το οποίο έχει δύο προεξοχές, χωρίζεται με μια τεθλασμένη γραμμή σε δύο ίσα τμήματα, τα οποία συνδυαζόμενα κατάλληλα σχηματίζουν ένα τετράγωνο. Η τεθλασμένη γραμμή που χωρίζει το ορθογώνιο μοιάζει με σκαλοπάτια

Εύρεση των διαστάσεων ορθογωνίων με δύο προεξοχές τα οποία μετατρέπονται σε τετράγωνα με τη μέθοδο των σκαλοπατιών

Έστω β και γ οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου με δύο προεξοχές στο οποίο εφαρμόζεται η μέθοδος των σκαλοπατιών, x και δ οι διαστάσεις των προεξοχών, κ ο αριθμός των σκαλοπατιών (κ≥2), y το κάθετο τμήμα τους και α η πλευρά του τετραγώνου που σχηματίζεται από τα δύο τμήματα του ορθογωνίου με τις προεξοχές.

Τότε, β = (κ + 1)x και γ = κy ‒ 2δ = (κ ‒ 2λ)y, όπου λ = δ/y.

Επίσης, α = β – x = κx και α = γ + y = (κ ‒ 2λ)y + y = (κ ‒ 2λ + 1)y.

Άρα, κx = (κ ‒2λ + 1)y και x/y = 1 + (1 ‒ 2λ)/κ.

Επομένως, β/γ = (κ + 1)(κ ‒ 2λ + 1)/κ(κ ‒ 2λ).