1 - 20
1. Οι τρεις αριθμοί
Σε ένα μάθημα μαθηματικών, ο καθηγητής πήρε τρία χαρτιά, έγραψε έναν αριθμό στο κάθε χαρτί, τα δίπλωσε και τα έδωσε σε τρεις μαθητές του —στον Α, τον Β και τον Γ—, ένα χαρτί στον καθένα. Μετά, είπε σε όλους τους μαθητές της τάξης ότι στο κάθε χαρτί ήταν γραμμένος ένας θετικός ακέραιος και ότι το άθροισμα αυτών των τριών αριθμών ήταν 15. Ο καθένας από τους τρεις μαθητές έπρεπε να δει τον αριθμό στο χαρτί που κρατούσε και να βρει τους άλλους δύο αριθμούς.
Οι μαθητές, λοιπόν, ξεδίπλωσαν το χαρτί τους και είδαν τον αριθμό που ήταν γραμμένος. Ο Α είπε ότι οι άλλοι δύο είχαν διαφορετικούς μεταξύ τους αριθμούς. Ο Β είπε ότι ήξερε πριν καν μιλήσει ο Α ότι και οι τρεις τους είχαν διαφορετικούς μεταξύ τους αριθμούς. Ακούγοντάς τους ο Γ, είπε ότι ήξερε ποιοι ήταν οι αριθμοί. Αμέσως μετά, και οι άλλοι δύο είπαν το ίδιο. Ο καθηγητής ρώτησε αν κανείς άλλος από την τάξη ήξερε τους αριθμούς. Ένας μαθητής σήκωσε το χέρι του και είπε σωστά και τους τρεις αριθμούς. Πώς τους βρήκε;
Αν ο Α είχε έναν περιττό αριθμό, η διαφορά του αριθμού του από το 15 θα ήταν ένας άρτιος αριθμός, τον οποίον οι άλλοι δύο θα ήταν δυνατόν να μοιράζονται. Άρα, δεν θα μπορούσε να συμπεράνει ότι οι άλλοι δύο είχαν διαφορετικούς μεταξύ τους αριθμούς. Επομένως, ο Α δεν είχε έναν περιττό αριθμό, είχε έναν άρτιο αριθμό. Η διαφορά, λοιπόν, του αριθμού του από το 15 ήταν ένας περιττός αριθμός και έτσι συμπέρανε ότι οι άλλοι δύο είχαν έναν άρτιο και έναν περιττό αριθμό, άρα διαφορετικούς μεταξύ τους αριθμούς. Ομοίως, αν ο Β είχε περιττό αριθμό, δεν θα μπορούσε να συμπεράνει ότι οι άλλοι δύο είχαν διαφορετικούς μεταξύ τους αριθμούς, άρα και αυτός είχε έναν άρτιο αριθμό. Επιπλέον, ο αριθμός του ήταν μεγαλύτερος ή ίσος του 8, γιατί μόνο τότε θα μπορούσε να συμπεράνει ότι ο άλλος άρτιος αριθμός, που τον είχε ο Α, δεν ήταν ίδιος με τον δικό του. Δεν είχε όμως το 12, για τότε δεν θα ήξερε απλώς ότι και οι τρεις τους είχαν διαφορετικούς μεταξύ τους αριθμούς, αλλά και ποιους είχε ο Α και ο Γ: ο Α θα είχε το 2 και ο Γ το 1.
Οι διαφορετικές τριάδες αριθμών που έχουν άθροισμα 15 και ικανοποιούν τα παραπάνω είναι οι εξής:
2, 8, 5
4, 8, 3
6, 8, 1
2, 10, 3
4, 10, 1
Αν ο Γ είχε το 1 ή το 3, δεν θα μπορούσε να συμπεράνει τους αριθμούς των άλλων δύο, γιατί θα υπήρχαν δύο πιθανές περιπτώσεις. Επομένως, είχε τον αριθμό 5 και έτσι κατέληξε στο συμπέρασμα ότι οι άλλοι δύο είχαν το 2 και το 8.
Αυτά σκέφτηκε ο μαθητής που σήκωσε το χέρι του και είπε σωστά τους τρεις αριθμούς.
2. Ροδακινιές σε ευθείες
Ένας αγρότης έχει χωρίσει ένα από τα χωράφια του, που έχει τετραγωνικό σχήμα, σε 49 ίσα τετράγωνα με σκοπό να φυτέψει στο κέντρο του κάθε τετραγώνου ένα καρποφόρο δέντρο. Αρχικά, σκέφτεται να φυτέψει 10 ροδακινιές σε 5 ευθείες σειρές και σε κάθε σειρά να υπάρχουν 4 ροδακινιές. Μπορείτε να βρείτε σε ποιες θέσεις θα τις φυτέψει;
Υπάρχουν τρεις τρόποι με τους οποίους ο αγρότης μπορεί να διατάξει τις ροδακινιές, αν εξαιρέσουμε τις επιπλέον λύσεις που προκύπτουν από ανάκλαση ή περιστροφή αυτών των διατάξεων.
3. Διαδρομές ελάχιστου μήκους
Ένας νεαρός ξεκινάει κάθε πρωί από το σπίτι του και πηγαίνει στην εταιρεία όπου εργάζεται ακολουθώντας κάθε φορά διαφορετική διαδρομή, με κατεύθυνση βόρεια σε κάποια τμήματά της και ανατολική σε κάποια άλλα. Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται τα οικοδομικά τετράγωνα που παρεμβάλλονται μεταξύ του σπιτιού του (Σ) και της εταιρείας (Ε), καθώς και μία από τις διαδρομές που ακολουθεί, η οποία έχει κατεύθυνση ανατολική για 2 τετράγωνα, βόρεια για 1 τετράγωνο, πάλι ανατολική για 2 τετράγωνα και πάλι βόρεια για 2 τετράγωνα. Όλες οι διαδρομές με κατεύθυνση βόρεια σε κάποια τμήματά τους και ανατολική σε κάποια άλλα έχουν το ίδιο μήκος και το οποίο είναι το ελάχιστο που μπορεί να έχει μια διαδρομή από το σπίτι του νεαρού στην εταιρεία. Πόσες διαδρομές ελάχιστου μήκους από το σπίτι του στην εταιρεία υπάρχουν;
Στη θέση (α, 2) και στη θέση (β, 1), ο νεαρός μπορεί να πάει με έναν τρόπο (δείτε το παρακάτω διάγραμμα). Στη θέση (β, 2), μπορεί να πάει περνώντας είτε από τη θέση (α, 2) είτε από τη θέση (β, 1), άρα μπορεί να πάει με δύο τρόπους. Στη θέση (β, 3), μπορεί να πάει περνώντας είτε από τη θέση (α, 3) είτε από τη θέση (β, 2). Υπάρχει ένας τρόπος για να πάει στη θέση (α, 3) και δύο τρόποι για να πάει στη θέση (β, 2), άρα μπορεί να πάει με τρεις τρόπους στη θέση (β, 3).
Είναι φανερό ότι το πλήθος των διαδρομών που οδηγούν σε μια διασταύρωση των δρόμων είναι το άθροισμα των διαδρομών που οδηγούν στις δύο διασταυρώσεις οι οποίες βρίσκονται σε απόσταση ενός τετραγώνου δυτικά και νότια από αυτή τη διασταύρωση αντίστοιχα.
Προχωρώντας από διασταύρωση σε διασταύρωση, βρίσκει κανείς αυτό το άθροισμα και για τις άλλες διασταυρώσεις των δρόμων γύρω από το σπίτι και μετά για τις υπόλοιπες μέχρι την εταιρεία. Το πλήθος των διαδρομών ελάχιστου μήκους από το σπίτι στην εταιρεία είναι 35.
4. Μέσα από ένα φύλλο χαρτί
Πάρτε ένα φύλλο χαρτί μεγέθους Α4 ή κόψτε ένα φύλλο από ένα τετράδιο και κάντε σε αυτό μια αρκετά μεγάλη τρύπα, ώστε ένας άνθρωπος να μπορεί να περάσει μέσα από αυτήν. Όσο απίστευτο και αν φαίνεται, είναι κάτι που μπορεί να γίνει.
Κατ’ αρχάς, διπλώστε το χαρτί στη μέση (πρώτο σχήμα). Μετά, κόψτε εναλλάξ από τη μία και από την άλλη μεριά του διπλωμένου χαρτιού κατά μήκος των γραμμών που φαίνονται στο δεύτερο σχήμα αρχίζοντας και τελειώνοντας από τη μεριά που έχετε την τσάκιση. Στη συνέχεια, κόψτε κατά μήκος της τσάκισης από το Α έως το Β. Ξεδιπλώστε το χαρτί και, αν όλα έχουν γίνει σωστά, το χαρτί σας θα είναι όπως στο τρίτο σχήμα. Τέλος, ανοίξτε το έως ότου η λωρίδα του χαρτιού να σχηματίσει έναν μεγάλο δαχτυλίδι. Θα διαπιστώσετε ότι το άνοιγμα είναι αρκετά μεγάλο και μπορεί άνετα να περάσει από μέσα το σώμα ενός ανθρώπου. Αν θέλετε το άνοιγμα να είναι μεγαλύτερο, πρέπει να κάνετε τα κοψίματα πιο κοντά το ένα στο άλλο.
5. Το αστέρι στο κέντρο
Πρώτα, σχεδιάστε ένα αστέρι πάνω σε ένα τετράγωνο χαρτί, σε οποιαδήποτε θέση εκτός από το κέντρο του. Έπειτα, χωρίστε το τετράγωνο χαρτί σε δύο μέρη τα οποία, αν τα συνδυάσετε κατάλληλα, να σχηματίσουν ένα ίδιο τετράγωνο με το αστέρι στο κέντρο του.
Ενώστε το κέντρο του τετραγώνου με το κέντρο του αστεριού με μια ευθεία. Μετά, σχεδιάστε έναν κύκλο στο εσωτερικό του τετραγώνου, με κέντρο το μέσο Μ αυτής της ευθείας, ο οποίος να περιλαμβάνει το αστέρι. Αν κόψετε τον κύκλο από το τετράγωνο και τον περιστρέψετε κατά 180°, το αστέρι θα βρεθεί στο κέντρο του τετραγώνου.
Αντί για κύκλο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιοδήποτε σχήμα έχει κέντρο συμμετρίας, π.χ., μια έλλειψη ή ένα τετράγωνο.
6. Έντεκα τετράγωνα μέσα σε ένα (Ι)
Το παρακάτω τετράγωνο είναι χωρισμένο σε 13 × 13 = 169 τετράγωνα. Μπορείτε να το χωρίσετε σε έντεκα τετράγωνα χαράζοντας γραμμές πάνω στις οριζόντιες και κάθετες γραμμές του;
7. Έντεκα τετράγωνα μέσα σε ένα (ΙΙ)
Το παρακάτω τετράγωνο είναι χωρισμένο σε 12 × 12 = 144 τετράγωνα. Μπορείτε να το χωρίσετε σε έντεκα τετράγωνα χαράζοντας γραμμές πάνω στις οριζόντιες και κάθετες γραμμές του; Υπάρχουν δύο λύσεις.
8. Μια επικερδής δήλωση
Υποθέστε ότι κάποιος βάζει πάνω σε ένα τραπέζι ένα νόμισμα του 1 ευρώ και ένα των 50 λεπτών και σας προτείνει το εξής: Αν κάνετε μια αληθή δήλωση, θα σας δώσει ένα από τα δύο νομίσματα, ενώ, αν κάνετε μια ψευδή δήλωση, δεν θα σας δώσει κανένα νόμισμα. Τι δήλωση πρέπει να κάνετε για να τον αναγκάσετε να σας δώσει το 1 ευρώ;
Μπορείτε να πείτε ότι δεν θα σας δώσει το νόμισμα των 50 λεπτών. Αν δεν σας δώσει κανένα από τα δύο νομίσματα, η δήλωσή σας θα είναι σωστή και θα έπρεπε να σας έχει δώσει κάποιο νόμισμα. Αν σας δώσει το νόμισμα των 50 λεπτών, η δήλωσή σας θα είναι εσφαλμένη και δεν θα έπρεπε να σας το έχει δώσει. Άρα, αν δεν σας δώσει κανένα νόμισμα ή αν σας δώσει το νόμισμα των 50 λεπτών, δεν θα τηρήσει τον λόγο του. Πρέπει, λοιπόν, να σας δώσει το 1 ευρώ. Τότε, η δήλωσή σας θα είναι σωστή και αυτός θα σας έχει δώσει ένα νόμισμα, τηρώντας τον λόγο του.
9. Όλα σε μία στήλη
Έχετε μπροστά σας τρεις στήλες με 4, 5 και 6 νομίσματα αντίστοιχα. Επιτρέπεται να μετακινήσετε τα νομίσματα μόνο με τον εξής τρόπο: παίρνετε δύο νομίσματα από δύο στήλες —ένα από την καθεμία— και τα τοποθετείτε στην τρίτη στήλη. Είναι δυνατόν με τέτοιες μετακινήσεις να μεταφέρετε όλα τα νομίσματα σε μία στήλη;
Όχι, δεν είναι δυνατόν να μεταφέρετε όλα τα νομίσματα σε μία στήλη. Αυτό θα ήταν δυνατόν να γίνει μόνο αν καταφέρνατε να εξισώσετε τον αριθμό των νομισμάτων μιας στήλης με τον αριθμό των νομισμάτων μιας άλλης. Τότε, παίρνοντας ένα νόμισμα από τη μία στήλη και ένα από την άλλη, θα τοποθετούσατε σταδιακά τα νομίσματα αυτών των δύο στηλών στην τρίτη στήλη. Όμως, είναι αδύνατον να εξισώσετε τους αριθμούς των νομισμάτων δύο στηλών. Πράγματι, σε κάθε μετακίνηση των νομισμάτων που κάνετε, τα νομίσματα καθεμίας από τις δύο στήλες από όπου τα παίρνετε μειώνονται κατά 1 και τα νομίσματα της στήλης όπου τα μεταφέρετε αυξάνονται κατά 2. Άρα, η διαφορά του αριθμού των νομισμάτων δύο στηλών είτε παραμένει η ίδια είτε μεταβάλλεται κατά 3. Καμία, όμως, από τις αρχικές διαφορές μεταξύ των αριθμών των νομισμάτων δεν είναι πολλαπλάσιο του 3. Συνεπώς, είναι αδύνατον να μηδενίσετε κάποια από αυτές τις διαφορές με τις συγκεκριμένες μετακινήσεις. Αφού, λοιπόν, δεν είναι δυνατόν να εξισώσετε τους αριθμούς των νομισμάτων δύο στηλών, δεν είναι επίσης δυνατόν να μεταφέρετε όλα τα νομίσματα σε μία στήλη.
10. Οι κάλπικες λίρες (Ι)
Η αστυνομία έχει κατασχέσει επτά σακούλια, το καθένα από τα οποία περιέχει 25 λίρες. Οι αστυνομικοί γνωρίζουν ότι πέντε από τα σακούλια περιέχουν γνήσιες λίρες και δύο περιέχουν μόνο κάλπικες, δεν γνωρίζουν όμως ποια είναι αυτά. Επίσης, γνωρίζουν το βάρος της γνήσιας λίρας και το βάρος της κάλπικης, η οποία ζυγίζει 1 γραμμάριο λιγότερο από τη γνήσια. Οι κάλπικες λίρες φαίνονται ίδιες με τις γνήσιες. Πώς θα βρουν ποια σακούλια περιέχουν τις κάλπικες λίρες ζυγίζοντας μία φορά σε ζυγαριά ακριβείας όσο το δυνατόν λιγότερες λίρες;
Οι αστυνομικοί πρέπει να πάρουν από τα επτά σακούλια 0, 1, 2, 4, 7, 12 και 20 λίρες αντίστοιχα, συνολικά 46 λίρες, και να τις βάλουν στη ζυγαριά. Αφού η καθεμία από τις κάλπικες λίρες ζυγίζει 1 γραμμάριο λιγότερο από μια γνήσια, η ζυγαριά θα δείξει τόσα γραμμάρια λιγότερο από το κανονικό, όσες θα είναι οι κάλπικες. Τώρα, γνωρίζοντας πόσες από τις 46 λίρες είναι κάλπικες, μπορούν να βρουν από ποια σακούλια τις πήραν, γιατί το πλήθος τους θα είναι ίσο με το άθροισμα ενός μόνο ζεύγους από τους παραπάνω αριθμούς. Για παράδειγμα, αν βρουν ότι οι 46 λίρες ζυγίζουν 16 γραμμάρια λιγότερο από το κανονικό, τότε οι κάλπικες θα είναι 16, που είναι το άθροισμα του 4 και του 12 και, επομένως, το 4ο και το 6ο σακούλι θα περιέχουν τις κάλπικες.
Οι αριθμοί των λιρών που πρέπει να πάρουν οι αστυνομικοί από τα επτά σακούλια βρίσκονται ως εξής:
Θεωρήστε τους αριθμούς αυτών των λιρών ως μια ακολουθία επτά αριθμών. Αυτοί οι αριθμοί πρέπει να είναι διαφορετικοί μεταξύ τους και κάθε ζεύγος αριθμών πρέπει να έχει διαφορετικό άθροισμα. Αυτό εξασφαλίζεται αν κάθε αριθμός που επιλέγεται για αυτή την ακολουθία, από τον τρίτο και μετά, ισούται με το άθροισμα των δύο προηγούμενων αριθμών. Μια τέτοια ακολουθία αριθμών είναι η ακολουθία 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, που αποτελεί τμήμα της ακολουθίας Φιμπονάτσι (δείτε τη σπαζοκεφαλιά «Τα κουνέλια του Φιμπονάτσι»).
Για να μη ζυγίσουν οι αστυνομικοί πολλές λίρες, οι αριθμοί αυτοί μπορούν να μειωθούν κατά 1. Έτσι, καταλήγει κανείς στην ακολουθία 0, 1, 2, 4, 7, 12, 20. Κάθε ζεύγος αριθμών αυτής της ακολουθίας, προφανώς, έχει πάλι διαφορετικό άθροισμα, μόνο που είναι κατά 2 μικρότερο από το αντίστοιχο ζεύγος της ακολουθίας Φιμπονάτσι.
Αν οποιοσδήποτε αριθμός της ακολουθίας 0, 1, 2, 4, 7, 12, 20 αντικατασταθεί από κάποιον άλλον μικρότερο, τότε αυτή δεν θα ικανοποιεί το ζητούμενο.
11. Τα τρία γράμματα
Σε ένα τηλεπαιχνίδι, όπου ομάδες παικτών καλούνταν να λύσουν διάφορες σπαζοκεφαλιές, ο παρουσιαστής του παιχνιδιού έδωσε σε τρεις παίκτες από ένα χαρτί, όπου είχε γράψει ένα γράμμα του αλφαβήτου, διαφορετικό σε κάθε χαρτί, και τους είπε ότι τα τρία γράμματα σχημάτιζαν μια από τις λέξεις μία, ωμό, θέα, σώο και ώρα. Αυτές οι λέξεις ήταν γραμμένες σε έναν πίνακα, ώστε να τις βλέπουν οι παίκτες. Η ομάδα τους θα κέρδιζε αν και οι τρεις έβρισκαν ποια από τις λέξεις σχημάτιζαν τα τρία γράμματα. Κανείς, βεβαίως, δεν έπρεπε να φανερώσει στους άλλους το γράμμα που έβλεπε στο χαρτί του. Ο παρουσιαστής ρώτησε τον πρώτο παίκτη αν ήξερε ποια από τις λέξεις σχημάτιζαν τα τρία γράμματα. Αυτός απάντησε ότι ήξερε τη λέξη. Μετά, ρώτησε τον δεύτερο, που επίσης είπε ότι την ήξερε. Τέλος, ρώτησε τον τρίτο, που είπε το ίδιο. Ποια ήταν η λέξη που σχημάτιζαν τα τρία γράμματα;
Αφού ο πρώτος παίκτης απάντησε ότι ήξερε τη λέξη, ήταν γραμμένο στο χαρτί του ένα γράμμα που υπήρχε σε μία μόνο από τις πέντε λέξεις, δηλαδή ένα από τα γράμματα ι, θ, ε, σ και ρ. Άρα, αποκλείεται να ήταν η λέξη ωμό.
Ο δεύτερος παίκτης, λοιπόν, αν είχε κάποιο από τα γράμματα της λέξης ωμό, ακούγοντας την απάντηση του πρώτου θα ήξερε ότι αυτή η λέξη δεν ήταν η ζητούμενη. Αφού και ο ίδιος απάντησε ότι ήξερε ποια ήταν η λέξη, είχε στο χαρτί του ένα από τα γράμματα μ, ε, θ, και ο, που το καθένα υπήρχε σε μία μόνο από τις τέσσερις υπόλοιπες λέξεις και δεν ήταν, βεβαίως, το γράμμα που θα μπορούσε να έχει ο πρώτος από αυτή τη λέξη αν ήταν η σωστή. Άρα, αποκλείεται η ζητούμενη λέξη να ήταν η λέξη ώρα.
Επομένως, μένουν τρεις λέξεις: μία, θέα και σώο. Αν η ζητούμενη λέξη ήταν η λέξη μία, ο πρώτος θα είχε το ι και ο δεύτερος το μ. Αν ήταν η λέξη θέα, ο πρώτος θα είχε το θ και ο δεύτερος το ε ή ο πρώτος θα είχε το ε και ο δεύτερος το θ. Αν ήταν η λέξη σώο, ο πρώτος θα είχε το σ και ο δεύτερος το ο. Συνεπώς, ο τρίτος παίκτης είχε το α ή το ω. Αν είχε το α, δεν θα ήξερε ποια ήταν η λέξη, γιατί το α υπήρχε σε δύο λέξεις (θέα και μία). Αφού είπε ότι ήξερε τη λέξη, είχε το ω. Ο ίδιος είχε αποκλείσει τη λέξη ωμό ακούγοντας την απάντηση του πρώτου παίκτη και τη λέξη ώρα ακούγοντας την απάντηση του δεύτερου. Επομένως, η λέξη που σχημάτιζαν τα τρία γράμματα ήταν η λέξη σώο.
12. Αριθμοί στη σειρά
Ποιος αριθμός λείπει από την παρακάτω σειρά;
5, 4, 19, 19, 16, _, 5, 15, 5, 4
Το 5ο γράμμα του αλφαβήτου είναι το ε, το 4ο είναι το δ, το 19ο είναι το τ, το 16ο είναι το π και το 15ο είναι το ο. Αν αντικαταστήσετε τους αριθμούς της σειράς με τα αντίστοιχα γράμματα, θα προκύψει η σειρά ε, δ, τ, τ, π, _, ε, ο, ε, δ.
Αυτή είναι η σειρά των αρχικών γραμμάτων των αριθμητικών από το ένα έως το δέκα, από την οποία λείπει το ε, που είναι το αρχικό γράμμα του αριθμητικού έξι. Το ε, όμως, είναι το 5ο γράμμα του αλφαβήτου, άρα από τη σειρά των αριθμών λείπει το 5.
13. Το κυβικό κτίριο
Ένα κυβικό κτίριο αποτελείται από 27 κυβικές αίθουσες ίδιου μεγέθους. Κάθε αίθουσα επικοινωνεί με καθεμία από τις αίθουσες που είναι δίπλα της μέσω μιας πόρτας. Επίσης, κάθε αίθουσα του ισογείου επικοινωνεί με την αίθουσα του πρώτου ορόφου που είναι από πάνω της μέσω μιας σκάλας, όπως και κάθε αίθουσα του πρώτου ορόφου με την αίθουσα του δεύτερου ορόφου που είναι από πάνω της.
Είναι δυνατόν να ξεκινήσετε από μια αίθουσα του κτιρίου, να περάσετε από κάθε αίθουσα μία μόνο φορά και να καταλήξετε σε αυτήν από την οποία ξεκινήσατε;
Και μια δεύτερη ερώτηση: Είναι δυνατόν να ξεκινήσετε από μια γωνιακή αίθουσα του ισογείου, να περάσετε πάλι από κάθε αίθουσα μία μόνο φορά και να καταλήξετε στην κεντρική αίθουσα του πρώτου ορόφου;
Υπάρχουν πολλές διαδρομές που μπορείτε να ακολουθήσετε για να περάσετε από κάθε αίθουσα μία μόνο φορά, αλλά καμία από αυτές δεν είναι κλειστή. Υπάρχει μια έξυπνη απόδειξη για αυτό: Υποθέστε ότι χρωματίζετε τις αίθουσες του κυβικού κτιρίου εναλλάξ άσπρο μαύρο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Καθώς θα περνάτε, λοιπόν, από τη μία αίθουσα στην άλλη, τα χρώματα θα εναλλάσσονται. Συνεπώς, αν περάσετε και από τις 27 αίθουσες του κτιρίου, η πρώτη και η τελευταία αίθουσα θα είναι ομοιόχρωμες. Επομένως, αυτές οι δύο αίθουσες δεν θα επικοινωνούν άμεσα και δεν θα είναι δυνατόν να περάσετε από τη μία στην άλλη χωρίς να ξαναπεράσετε από άλλη αίθουσα.
Ο εναλλάξ χρωματισμός των αιθουσών είναι χρήσιμος για να απαντήσετε και στη δεύτερη ερώτηση. Παρατηρήστε ότι οι γωνιακές αίθουσες του ισογείου έχουν διαφορετικό χρώμα από την κεντρική αίθουσα του πρώτου ορόφου. Όμως, αν περάσετε από κάθε αίθουσα του κτιρίου μία μόνο φορά, η πρώτη και η τελευταία αίθουσα θα είναι ομοιόχρωμες. Επομένως, δεν μπορείτε να ξεκινήσετε από μια γωνιακή αίθουσα του ισογείου, να περάσετε από κάθε αίθουσα του κτιρίου μία μόνο φορά και να καταλήξετε στην κεντρική αίθουσα του πρώτου ορόφου.
14. Ένας ρεπόρτερ στην έρημο
Ένας ρεπόρτερ βρίσκεται σε ένα χωριό στην άκρη μιας ερήμου και πρόκειται να διασχίσει την έρημο με το τζιπ του και να φτάσει σε ένα άλλο χωριό, που βρίσκεται σε απόσταση 1200 χλμ. Για το ταξίδι του έχει εξασφαλίσει τρία δοχεία γεμάτα βενζίνη και έχει γεμίσει το ντεπόζιτο του τζιπ, που είναι της ίδιας χωρητικότητας με τα δοχεία. Η βενζίνη του κάθε δοχείου τού επιτρέπει να διανύσει 450 χλμ., επομένως έχει βενζίνη για 1800 χλμ. Δυστυχώς, το τζιπ είναι γεμάτο με διάφορες προμήθειες και εξοπλισμό και έχει χώρο μόνο για ένα από τα τρία δοχεία. Ο ρεπόρτερ δεν θέλει να βγάλει έξω από το τζιπ μέρος των προμηθειών ή του εξοπλισμού και να βάλει στη θέση τους τα δοχεία με τη βενζίνη. Πώς θα καταφέρει να πραγματοποιήσει το ταξίδι του, μόνος, με το δικό του τζιπ και με όλες τις προμήθειες και τον εξοπλισμό;
Ο ρεπόρτερ μπορεί να ταξιδέψει έχοντας στο τζιπ βενζίνη που επαρκεί για 900 χλμ. Άρα, πρέπει να μεταφέρει αυτή τη βενζίνη σε ένα σημείο της διαδρομής του, στη μεγαλύτερη δυνατή απόσταση από την αφετηρία, χρησιμοποιώντας την υπόλοιπη βενζίνη, που επαρκεί επίσης για 900 χλμ. Ο ρεπόρτερ θα διανύσει τρεις φορές την απόσταση μεταξύ αυτού του σημείου και της αφετηρίας, γιατί αναγκαστικά θα επιστρέψει στην αφετηρία για να πάρει τη βενζίνη που θα έχει προσωρινά αφήσει. Επομένως, το σημείο ανεφοδιασμού μπορεί να απέχει από την αφετηρία 300 χλμ.
Ο ρεπόρτερ, λοιπόν, θα φορτώσει το ένα δοχείο με τη βενζίνη στο τζιπ και με γεμάτο το ντεπόζιτο θα προχωρήσει 300 χλμ. Σε αυτό το σημείο της ερήμου, θα συμπληρώσει τη βενζίνη που θα έχει μείνει στο ντεπόζιτο (βενζίνη για 150 χλμ.) με βενζίνη από το δοχείο, ώστε να επαρκεί για 300 χλμ., και θα αφήσει το δοχείο με την υπόλοιπη βενζίνη (βενζίνη για 300 χλμ.). Έπειτα, θα επιστρέψει στην αφετηρία για να πάρει την υπόλοιπη βενζίνη. Θα φορτώσει το ένα δοχείο στο τζιπ και με το άλλο θα γεμίσει το άδειο ντεπόζιτο. Στη συνέχεια, θα διανύσει πάλι 300 χλμ. έως το σημείο όπου έχει αφήσει το πρώτο δοχείο και θα συμπληρώσει τη βενζίνη στο ντεπόζιτο με το περιεχόμενο αυτού του δοχείου. Τώρα, έχοντας ένα γεμάτο δοχείο και το ντεπόζιτο γεμάτο, θα διανύσει τα 900 χλμ. που τον χωρίζουν από το άλλο χωριό.
15. Άσπροι και μαύροι σκούφοι (ΙΙΙ)
Σε μια κατασκήνωση, ένας ομαδάρχης συγκεντρώνει τα παιδιά της ομάδας του και τους λέει ότι θα περάσουν από την εξής δοκιμασία: Θα παραταχθούν σε έναν στοίχο κατά σειρά αυξανόμενου ύψους, θα τους δέσει τα μάτια και θα τους φορέσει από έναν σκούφο, σε άλλους άσπρο και σε άλλους μαύρο. Έπειτα, τα παιδιά θα λύσουν τα μάτια τους και το ένα μετά το άλλο, αρχίζοντας από το τελευταίο του στοίχου, πρέπει να πουν το χρώμα του σκούφου τους —άσπρο ή μαύρο— και μόνο αυτό, δυνατά για να το ακούσουν όλοι. Το τελευταίο παιδί του στοίχου, που θα μιλήσει πρώτο, δεν είναι απαραίτητο να το πει σωστά. Δεν θα επιτρέπεται, βεβαίως, να βγάλουν τον σκούφο τους και να τον δουν, να κοιτάξουν πίσω τους, να μιλούν μεταξύ τους ή να κάνουν νοήματα. Πριν από αυτή τη δοκιμασία, μπορούν να ανταλλάξουν ιδέες και να αποφασίσουν τι θα κάνουν.
Υπάρχει κάποιος τρόπος για να πουν τα παιδιά σωστά το χρώμα του σκούφου τους;
Δεν υπάρχει τρόπος για το τελευταίο παιδί του στοίχου να ξέρει το χρώμα του σκούφου του. Επομένως, η πιθανότητα να το πει σωστά είναι 50%. Όλα τα άλλα παιδιά μπορούν να συμπεράνουν το χρώμα του σκούφου τους και, επομένως, να το πουν σωστά.
Τα παιδιά μπορούν να αποφασίσουν το εξής: Αν το τελευταίο παιδί δει μπροστά του άρτιο αριθμό άσπρων σκούφων, να πει «άσπρο», αλλιώς να πει «μαύρο». Έτσι, το επόμενο παιδί θα μπορεί να συμπεράνει το χρώμα του σκούφου του μετρώντας τους άσπρους σκούφους που θα βλέπει μπροστά του. Το καθένα από τα επόμενα παιδιά θα μπορεί επίσης να συμπεράνει το χρώμα του σκούφου του μετρώντας τους άσπρους σκούφους που θα βλέπει μπροστά του και γνωρίζοντας το χρώμα των σκούφων που θα έχουν πει ότι φορούν τα προηγούμενα παιδιά.
Για παράδειγμα, υποθέστε ότι τα παιδιά είναι δέκα και έχουν τη διάταξη μ, α, α, μ, μ, α, μ, α, μ, μ, όπου α παιδί με άσπρο σκούφο και μ παιδί με μαύρο σκούφο.
Το τελευταίο παιδί βλέπει μπροστά του άρτιο αριθμό άσπρων σκούφων και λέει «άσπρο», όμως φοράει μαύρο σκούφο. Τα υπόλοιπα παιδιά, ακούγοντας το τελευταίο να λέει «άσπρο», συμπεραίνουν ότι βλέπει μπροστά του άρτιο αριθμό άσπρων σκούφων. Το προτελευταίο παιδί βλέπει μπροστά του επίσης άρτιο αριθμό άσπρων σκούφων, επομένως συμπεραίνει ότι φοράει μαύρο και λέει «μαύρο». Το επόμενο παιδί βλέπει περιττό αριθμό άσπρων σκούφων και ξέρει ότι το προηγούμενο φοράει μαύρο σκούφο, επομένως συμπεραίνει ότι φοράει άσπρο και λέει «άσπρο». Ομοίως, και τα υπόλοιπα παιδιά, το ένα μετά το άλλο, μπορούν να συμπεράνουν σωστά το χρώμα που έχει ο σκούφος τους.
16. Άσπροι και μαύροι σκούφοι (IV)
Μια φυλακή έχει γεμίσει από κρατούμενους και ο διευθυντής της αποφασίζει να τους δώσει μια ευκαιρία να αποφυλακιστούν. Συγκεντρώνει, λοιπόν, τους κρατούμενους και τους λέει ότι θα περάσουν από την εξής δοκιμασία: Θα σχηματίσουν έναν κύκλο, για να βλέπει ο καθένας όλους τους άλλους. Οι φύλακες θα τους δέσουν τα μάτια και θα φορέσουν σε όλους από έναν σκούφο, σε άλλους άσπρο και σε άλλους μαύρο. Έπειτα, οι κρατούμενοι θα λύσουν τα μάτια τους και, αφού τους δοθεί λίγος χρόνος, ο καθένας θα περάσει μπροστά από τον διευθυντή και θα πει το χρώμα του σκούφου του, χωρίς να τον ακούσουν οι άλλοι. Αν το πουν όλοι σωστά ή όλοι λάθος θα αποφυλακιστούν. Δεν θα επιτρέπεται, βεβαίως, να βγάλουν τον σκούφο τους και να τον δουν, να μιλούν μεταξύ τους ή να κάνουν νοήματα. Πριν από τη δοκιμασία, όμως, μπορούν να ανταλλάξουν ιδέες και να αποφασίσουν τι θα κάνουν.
Υπάρχει κάποιος τρόπος για να πουν όλοι οι κρατούμενοι σωστά το χρώμα του σκούφου τους ή να το πουν όλοι λάθος και να αποφυλακιστούν;
Οι κρατούμενοι μπορούν να κάνουν το εξής: Ο καθένας να μετρήσει τους άσπρους σκούφους που θα φορούν οι άλλοι. Αν το πλήθος αυτών των σκούφων είναι άρτιο, να πει ότι φοράει άσπρο σκούφο. Αν είναι περιττό, να πει ότι φοράει μαύρο.
Έστω ότι το πλήθος όλων των άσπρων σκούφων που θα φορούν οι κρατούμενοι είναι περιττό. Όσοι θα φορούν άσπρους σκούφους θα βλέπουν άρτιο πλήθος άσπρων σκούφων και θα πουν ότι φορούν άσπρο. Όσοι θα φορούν μαύρους σκούφους θα βλέπουν περιττό πλήθος άσπρων σκούφων και θα πουν ότι φορούν μαύρο. Στην περίπτωση αυτή, όλοι οι κρατούμενοι θα πουν σωστά το χρώμα του σκούφου τους και, επομένως, θα αποφυλακιστούν.
Έστω ότι το πλήθος όλων των άσπρων σκούφων που θα φορούν οι κρατούμενοι είναι άρτιο. Όσοι θα φορούν άσπρους σκούφους θα βλέπουν περιττό πλήθος άσπρων σκούφων και θα πουν ότι φορούν μαύρο. Όσοι θα φορούν μαύρους σκούφους θα βλέπουν άρτιο πλήθος άσπρων σκούφων και θα πουν ότι φορούν άσπρο. Στην περίπτωση αυτή, κανείς δεν θα πει σωστά το χρώμα του σκούφου του. Επομένως, και σε αυτή την περίπτωση, όλοι οι κρατούμενοι θα αποφυλακιστούν.
17. Οι είκοσι επτά κύβοι
Υποθέστε ότι έχετε είκοσι επτά μικρούς κύβους. Πώς πρέπει να τους βάψετε, ώστε να σχηματίσουν έναν κόκκινο κύβο αν συνδυαστούν κατάλληλα, αλλά να είναι επίσης δυνατόν να σχηματίσουν και έναν πράσινο κύβο και έναν μπλε; Κάθε χρωματιστός μεγάλος κύβος πρέπει να αποτελείται από όλους τους μικρούς κύβους.
Σε έναν κύβο που αποτελείται από είκοσι επτά μικρούς κύβους, οι ορατές έδρες των μικρών κύβων μπορεί να είναι είτε τρεις, είτε δύο, είτε μία, είτε καμία, ανάλογα με τη θέση των μικρών κύβων:
Οκτώ μικροί κύβοι βρίσκονται στις κορυφές του κύβου και είναι ορατές τρεις έδρες τους.
Δώδεκα μικροί κύβοι βρίσκονται στη μέση των ακμών του κύβου και είναι ορατές δύο έδρες τους.
Έξι μικροί κύβοι βρίσκονται στο κέντρο των εδρών του κύβου και είναι ορατή μία έδρα τους.
Ένας μικρός κύβος βρίσκεται στο κέντρο του κύβου και δεν είναι ορατή καμία έδρα του.
Επομένως, για να είναι δυνατός ο σχηματισμός των τριών χρωματιστών κύβων, πρέπει να βάψετε με κόκκινο χρώμα τρεις έδρες με κοινή κορυφή σε οκτώ μικρούς κύβους, δύο έδρες με κοινή ακμή σε δώδεκα μικρούς κύβους και μία έδρα σε έξι μικρούς κύβους, και να επαναλάβετε το ίδιο στις υπόλοιπες έδρες των μικρών κύβων χρησιμοποιώντας τα άλλα δύο χρώματα. Ένας τρόπος, λοιπόν, είναι να βάψετε τις έδρες των μικρών κύβων ως εξής:
Σε έξι μικρούς κύβους, τρεις έδρες κόκκινες, δύο πράσινες και μία μπλε.
Σε έξι μικρούς κύβους, τρεις έδρες πράσινες, δύο μπλε και μία κόκκινη.
Σε έξι μικρούς κύβους, τρεις έδρες μπλε, δύο κόκκινες και μία πράσινη.
Σε έξι μικρούς κύβους, δύο έδρες κόκκινες, δύο πράσινες και δύο μπλε.
Σε έναν μικρό κύβο, τρεις έδρες κόκκινες και τρεις πράσινες.
Σε έναν μικρό κύβο, τρεις έδρες πράσινες και τρεις μπλε.
Σε έναν μικρό κύβο, τρεις έδρες μπλε και τρεις κόκκινες.
Σε όλες τις περιπτώσεις, οι τρεις ομοιόχρωμες έδρες πρέπει να έχουν κοινή κορυφή και οι δύο ομοιόχρωμες κοινή ακμή.
18. Ειλικρινείς και ψεύτες (VIII)
Ο κάθε κάτοικος ενός νησιού είναι είτε ειλικρινής είτε ψεύτης. Οι ειλικρινείς κάτοικοι λένε πάντα την αλήθεια και οι ψεύτες λένε πάντα ψέματα.
Ένας ξένος ρώτησε δύο κατοίκους του νησιού αν τουλάχιστον ο ένας από αυτούς είναι ειλικρινής. Μόνο ο ένας απάντησε στον ξένο, μονολεκτικά, λέγοντας «ναι» ή «όχι», και ο ξένος κατάλαβε από την απάντησή του τι είναι ο καθένας. Τι είναι αυτοί οι δύο κάτοικοι, ειλικρινείς ή ψεύτες;
Μετά, ο ξένος ρώτησε δύο άλλους κατοίκους του νησιού αν τουλάχιστον ο ένας από αυτούς είναι ψεύτης. Μόνο ο ένας απάντησε πάλι στον ξένο, μονολεκτικά, λέγοντας «ναι» ή «όχι», και ο ξένος κατάλαβε από την απάντησή του τι είναι ο καθένας. Τι είναι αυτοί οι δύο κάτοικοι, ειλικρινείς ή ψεύτες;
Στην πρώτη περίπτωση, αν ο κάτοικος είχε απαντήσει καταφατικά, τότε θα μπορούσε είτε αυτός να είναι ειλικρινής και ο άλλος ψεύτης, είτε και οι δύο να είναι ειλικρινείς, είτε και οι δύο να είναι ψεύτες. Άρα, ο ξένος δεν θα μπορούσε να καταλάβει τι είναι ο καθένας. Επομένως, ο κάτοικος απάντησε αρνητικά. Αν ήταν ειλικρινής δεν θα έλεγε, βεβαίως, ότι κανένας από αυτούς τους δύο δεν είναι ειλικρινής. Άρα, αυτός ο κάτοικος δεν είναι ειλικρινής, είναι ψεύτης. Συνεπώς, είπε ψέματα και τουλάχιστον ο ένας από αυτούς είναι ειλικρινής. Αφού αυτός είναι ψεύτης, ο άλλος είναι ειλικρινής.
Στη δεύτερη περίπτωση, αν ο κάτοικος είχε απαντήσει αρνητικά, τότε θα μπορούσε είτε αυτός να είναι ψεύτης και ο άλλος ειλικρινής, είτε και οι δύο να είναι ψεύτες, είτε και οι δύο να είναι ειλικρινείς. Άρα, ο ξένος δεν θα μπορούσε να καταλάβει τι είναι ο καθένας. Επομένως, ο κάτοικος απάντησε καταφατικά. Αν ήταν ψεύτης δεν θα έλεγε, βεβαίως, ότι τουλάχιστον ο ένας από αυτούς τους δύο είναι ψεύτης. Άρα, αυτός ο κάτοικος δεν είναι ψεύτης, είναι ειλικρινής. Συνεπώς, είπε την αλήθεια και τουλάχιστον ο ένας από αυτούς είναι ψεύτης. Αφού αυτός είναι ειλικρινής, ο άλλος είναι ψεύτης.
19. Οι είκοσι επτά μπίλιες
Σας δίνουν είκοσι επτά μπίλιες ίδιου μεγέθους και χρώματος, οι οποίες ζυγίζουν όλες το ίδιο, εκτός από μία που μπορεί να είναι είτε λίγο ελαφρύτερη είτε λίγο βαρύτερη. Επίσης, σας δίνουν έναν ισοσκελή ζυγό. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός ζυγίσεων που χρειάζεται να κάνετε για να εντοπίσετε αυτή την μπίλια χρησιμοποιώντας τον ισοσκελή ζυγό;
Χρειάζεται να γίνουν τέσσερις ζυγίσεις.
Στην αρχή, χωρίστε τις μπίλιες σε τρεις ίσες ομάδες. Τοποθετήστε στον έναν δίσκο του ζυγού την πρώτη ομάδα και στον άλλο δίσκο πρώτα τη δεύτερη ομάδα (1η ζύγιση) και μετά την τρίτη ομάδα (2η ζύγιση). Υπάρχουν τρεις περιπτώσεις:
Ο ζυγός ισορροπεί στην 1η ζύγιση. Τότε, γέρνει στη 2η ζύγιση και η τρίτη ομάδα έχει τη διαφορετική μπίλια.
Ο ζυγός γέρνει στην 1η ζύγιση και ισορροπεί στη 2η ζύγιση. Τότε, η δεύτερη ομάδα έχει τη διαφορετική μπίλια.
Ο ζυγός γέρνει στην 1η και στη 2η ζύγιση. Τότε, η πρώτη ομάδα έχει τη διαφορετική μπίλια.
Και στις τρεις περιπτώσεις μπορείτε να συμπεράνετε από τη κλίση του ζυγού αν η διαφορετική μπίλια είναι ελαφρύτερη ή βαρύτερη από τις υπόλοιπες.
Στη συνέχεια, χωρίστε την ομάδα που έχει τη διαφορετική μπίλια σε τρεις τριάδες και τοποθετήστε δύο τριάδες στον ζυγό, μία σε κάθε δίσκο (3η ζύγιση). Αν ο ζυγός ισορροπεί, τότε η τρίτη τριάδα έχει τη διαφορετική μπίλια. Αν ο ζυγός γέρνει, τότε μπορείτε να συμπεράνετε από την κλίση του σε ποια τριάδα βρίσκεται η διαφορετική μπίλια.
Τέλος, τοποθετήστε στον ζυγό δύο μπίλιες από την τριάδα στην οποία βρίσκεται η διαφορετική μπίλια, μία σε κάθε δίσκο (4η ζύγιση). Αν ο ζυγός ισορροπεί, τότε η τρίτη μπίλια είναι η διαφορετική. Αν ο ζυγός γέρνει, τότε μπορείτε να συμπεράνετε από την κλίση του ποια είναι η διαφορετική μπίλια.
20. Το φιλί
Ένα αγόρι ήταν σε ραντεβού με ένα κορίτσι.
«Θα σου πω κάτι. Αν είναι αλήθεια, θα μου δώσεις μια φωτογραφία σου;» είπε το αγόρι στο κορίτσι.
«Ναι» απάντησε το κορίτσι.
«Αν, όμως, δεν είναι αλήθεια, υπόσχεσαι να μη μου δώσεις τη φωτογραφία σου;» συνέχισε το αγόρι.
«Το υπόσχομαι» είπε το κορίτσι.
Τότε, το αγόρι έκανε μια δήλωση, που το κορίτσι, αφού σκέφτηκε για λίγο, συνειδητοποίησε ότι για να τηρήσει την υπόσχεσή της δεν έπρεπε να του δώσει μια φωτογραφία της αλλά ένα φιλί. Τι της είπε το αγόρι;
Το αγόρι είπε ότι το κορίτσι δεν θα του έδινε ούτε τη φωτογραφία της ούτε ένα φιλί. Αν το κορίτσι δεν του έδινε ούτε τη φωτογραφία της ούτε ένα φιλί, η δήλωση του αγοριού θα ήταν αληθής και θα έπρεπε να του είχε δώσει τη φωτογραφία της. Αν του έδινε τη φωτογραφία της, η δήλωση του αγοριού θα ήταν ψευδής και δεν θα έπρεπε να του την είχε δώσει. Επομένως, έπρεπε να του δώσει μόνο ένα φιλί. Τότε, η δήλωση του αγοριού θα ήταν ψευδής και αυτή δεν θα του είχε δώσει τη φωτογραφία της, όπως είχε υποσχεθεί.
Last updated