41 - 60
41. Το τρύπιο ορθογώνιο
Το παρακάτω ορθογώνιο έχει τρεις τρύπες: μία ορθογώνια στο κέντρο του και δύο τετραγωνικές σε συμμετρικές θέσεις ως προς το κέντρο του. Βρείτε έναν τρόπο να το χωρίσετε σε δύο ίσα τμήματα τα οποία, αν τα συνδυάσετε κατάλληλα, να σχηματίσουν ένα τετράγωνο χωρίς τρύπες.
Χωρίστε το ορθογώνιο όπως φαίνεται στο πρώτο σχήμα και συνδυάστε τα δύο τμήματα όπως φαίνεται στο δεύτερο σχήμα.
42. Γνωστοί ή άγνωστοι
Ανάμεσα σε οποιουσδήποτε έξι ανθρώπους υπάρχουν είτε τρεις γνωστοί μεταξύ τους είτε τρεις άγνωστοι μεταξύ τους. Μπορείτε να το αποδείξετε;
Σε έναν άνθρωπο που τυχαία επιλέγεται από ένα σύνολο έξι ανθρώπων είναι δυνατόν να συμβαίνει μόνο ένα από τα ακόλουθα όσον αφορά το πλήθος των γνωστών του ανάμεσα στους άλλους πέντε:
Έχει τουλάχιστον τρεις γνωστούς.
Έχει λιγότερους από τρεις γνωστούς και, επομένως, δεν γνωρίζει τουλάχιστον τρεις.
Έστω ότι έχει τρεις γνωστούς ανάμεσα στους άλλους πέντε. Από τους τρεις που του είναι γνωστοί είτε οι δύο τουλάχιστον είναι γνωστοί και μεταξύ τους είτε και οι τρεις είναι άγνωστοι μεταξύ τους. Επομένως, σε αυτή την περίπτωση, υπάρχουν είτε τρεις γνωστοί μεταξύ τους είτε τρεις άγνωστοι μεταξύ τους στο σύνολο των έξι ανθρώπων.
Έστω, τώρα, ότι δεν γνωρίζει τρεις από τους άλλους πέντε. Από τους τρεις που του είναι άγνωστοι είτε οι δύο τουλάχιστον είναι άγνωστοι και μεταξύ τους είτε και οι τρεις είναι γνωστοί μεταξύ τους. Επομένως, και σε αυτή την περίπτωση, υπάρχουν είτε τρεις γνωστοί μεταξύ τους είτε τρεις άγνωστοι μεταξύ τους.
43. Το επιτραπέζιο παιχνίδι
Το τετραγωνικό ταμπλό όπου παίζεται ένα επιτραπέζιο παιχνίδι είναι χωρισμένο σε ίσα τετραγωνάκια, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, καθώς και σε τέσσερις περιοχές, μέσα στις οποίες κινεί το πιόνι του ο κάθε παίκτης. Οι τέσσερις περιοχές έχουν το ίδιο μέγεθος και σχήμα, και σε καθεμία ανήκει ένα από τα τετραγωνάκια με τους αριθμούς 1, 2, 3 και 4. Μπορείτε να βρείτε το σχήμα που έχουν αυτές οι τέσσερις περιοχές;
Οι τέσσερις περιοχές, χρωματισμένες με διαφορετικά χρώματα, φαίνονται στο σχήμα.
44. Τα τρία κουτιά του Bertrand
Μπροστά σας, πάνω σε ένα τραπέζι, υπάρχουν τρία όμοια κλειστά κουτιά. Το ένα περιέχει δύο χρυσά νομίσματα, το άλλο περιέχει δύο ασημένια και το τρίτο περιέχει ένα χρυσό και ένα ασημένιο. Επιλέγετε ένα κουτί στην τύχη. Προφανώς, η πιθανότητα να περιέχει δύο ίδια νομίσματα είναι 2/3. Το ανοίγετε και χωρίς να δείτε το περιεχόμενό του παίρνετε ένα νόμισμα στην τύχη. Βλέπετε ότι αυτό το νόμισμα είναι χρυσό. Άρα, το κουτί που επιλέξατε αποκλείεται να είναι το κουτί με τα δύο ασημένια νομίσματα. Επομένως, πρέπει να είναι είτε εκείνο με τα δύο χρυσά είτε εκείνο με το χρυσό και το ασημένιο. Φαίνεται, λοιπόν, ότι η πιθανότητα να είναι το κουτί με τα δύο χρυσά νομίσματα είναι 1/2. Αν παίρνατε ένα ασημένιο νόμισμα από το κουτί, θα μπορούσατε ομοίως να συμπεράνετε ότι η πιθανότητα να είναι το κουτί με τα δύο ασημένια νομίσματα είναι 1/2. Αλλά τότε η πιθανότητα να επιλέξατε κουτί με δύο ίδια νομίσματα είναι 1/2 ανεξάρτητα από το είδος του νομίσματος που βλέπετε. Συνεπώς, είναι 1/2 ακόμη και αν δεν βλέπατε κανένα νόμισμα. Αυτό όμως είναι παράδοξο, αφού η πιθανότητα να περιέχει ένα κουτί δύο ίδια νομίσματα είναι 2/3, δεν είναι 1/2. Μπορείτε να βρείτε πού είναι το λάθος;
Το παράδοξο αυτό τέθηκε από τον Γάλλο μαθηματικό J. Bertrand και υπάρχει στο βιβλίο του Calcul des probabilités, που εκδόθηκε το 1889.
Το λάθος έγκειται στην παραδοχή ότι η πιθανότητα να πήρατε το χρυσό νόμισμα από το κουτί με τα δύο χρυσά είναι ίδια με την πιθανότητα να το πήρατε από το κουτί με το χρυσό και το ασημένιο νόμισμα. Αυτές οι δύο πιθανότητες δεν είναι ίσες. Η πρώτη πιθανότητα είναι διπλάσια της δεύτερης, γιατί το πρώτο κουτί περιέχει αρχικά δύο χρυσά νομίσματα, ενώ το δεύτερο μόνο ένα.
Πράγματι, υπάρχουν οι εξής το ίδιο πιθανές περιπτώσεις:
Πήρατε ένα χρυσό νόμισμα από το κουτί με τα δύο χρυσά νομίσματα.
Πήρατε το άλλο χρυσό νόμισμα από το κουτί με τα δύο χρυσά νομίσματα.
Πήρατε ένα χρυσό νόμισμα από το κουτί με το χρυσό και το ασημένιο νόμισμα.
Στις δύο από τις τρεις περιπτώσεις πήρατε το χρυσό νόμισμα από το κουτί με τα δύο χρυσά νομίσματα. Άρα, η πιθανότητα να πήρατε το χρυσό νόμισμα από το κουτί με τα δύο χρυσά νομίσματα είναι 2/3.
45. Οι αρχειοθήκες
Σε μια εταιρεία, ο διευθυντής, ο υποδιευθυντής και τέσσερις υπάλληλοι έχουν τα κλειδιά με τα οποία ανοίγουν οι αρχειοθήκες της εταιρείας, όπου φυλάσσονται τα διάφορα έγγραφα. Είναι γνωστά τα εξής στοιχεία:
Ο διευθυντής έχει όλα τα κλειδιά.
Ο υποδιευθυντής έχει όλα τα κλειδιά εκτός από ένα, που το έχουν και οι τέσσερις υπάλληλοι.
Κάθε δυάδα από τους τέσσερις υπαλλήλους έχει όλα τα κλειδιά εκτός από ένα, που το έχει ο καθένας από τους άλλους δύο υπαλλήλους.
Κανένα από τα κλειδιά που λείπουν από έναν υπάλληλο δεν το έχουν και οι τρεις άλλοι υπάλληλοι.
Δεν υπάρχει καμία αρχειοθήκη που να έχουν όλοι το κλειδί της και κάθε αρχειοθήκη ανοίγει με διαφορετικό κλειδί.
Πόσες είναι οι αρχειοθήκες αυτής της εταιρείας; Για πόσες αρχειοθήκες έχει κλειδιά ο καθένας από τους τέσσερις υπαλλήλους;
Οι αρχειοθήκες που έχει η εταιρεία είναι επτά.
Οι τέσσερις υπάλληλοι μπορούν να συνδυαστούν σε έξι διαφορετικές δυάδες και οι δύο υπάλληλοι καθεμίας από τις έξι δυάδες έχουν ένα κλειδί που δεν έχουν οι άλλοι δύο. Επίσης, και οι τέσσερις υπάλληλοι έχουν ένα κλειδί που λείπει από τον υποδιευθυντή. Αν υπήρχε κάποιο άλλο κλειδί επιπλέον από αυτά τα επτά κλειδιά, αναγκαστικά είτε θα το είχαν και οι τέσσερις υπάλληλοι είτε θα έλειπε τουλάχιστον από δύο υπαλλήλους —κανένα κλειδί δεν λείπει από έναν υπάλληλο μόνο. Όμως, ούτε το πρώτο μπορεί να συμβαίνει ούτε το δεύτερο. Το πρώτο δεν μπορεί να συμβαίνει, γιατί κανένα κλειδί δεν το έχουν και οι τέσσερις υπάλληλοι, εκτός από το κλειδί που λείπει από τον υποδιευθυντή. Το δεύτερο δεν μπορεί να συμβαίνει, γιατί τουλάχιστον από μια δυάδα υπαλλήλων θα έλειπαν δύο κλειδιά και όχι ένα. Άρα, υπάρχουν επτά κλειδιά και οι αντίστοιχες αρχειοθήκες.
Για πόσες, όμως, αρχειοθήκες έχει κλειδιά ο καθένας από τους τέσσερις υπαλλήλους; Ο καθένας από τους τέσσερις υπαλλήλους έχει, βεβαίως, τα τρία κλειδιά που λείπουν από τις τρεις διαφορετικές δυάδες που μπορούν να σχηματίσουν οι άλλοι τρεις υπάλληλοι. Επίσης, έχει το κλειδί που λείπει από τον υποδιευθυντή. Άρα, ο καθένας από τους τέσσερις υπαλλήλους έχει τέσσερα κλειδιά.
Ο διευθυντής, λοιπόν, έχει κλειδιά για όλες τις αρχειοθήκες.
Ο υποδιευθυντής έχει κλειδιά για όλες εκτός από μία, έστω τη Ζ.
Ένας υπάλληλος έχει κλειδιά για την Α, τη Β, τη Γ και τη Ζ.
Ένας άλλος έχει για την Α, τη Δ, την Ε και τη Ζ.
Ένας τρίτος έχει για τη Β, τη Δ, τη ΣΤ και τη Ζ.
Και ο τέταρτος έχει για τη Γ, την Ε, τη ΣΤ και τη Ζ.
46. Τα αυτοκόλλητα
Σε ένα τηλεπαιχνίδι, όπου ομάδες παικτών καλούνταν να λύσουν διάφορες σπαζοκεφαλιές, ο παρουσιαστής του παιχνιδιού έδειξε στους παίκτες μιας ομάδας —στον Α, τον Β και τον Γ— τέσσερα κόκκινα αυτοκόλλητα και τέσσερα μπλε και τους είπε ότι θα κολλούσε δύο στο μέτωπο τους καθενός. Έπειτα, τους έδεσε τα μάτια, κόλλησε από δύο αυτοκόλλητα στα μέτωπά τους και έβαλε στην τσέπη του τα δύο που περίσσεψαν. Στη συνέχεια, οι τρεις παίκτες έλυσαν τα μάτια τους. Ο κάθε παίκτης έβλεπε τα αυτοκόλλητα των άλλων δύο, αλλά δεν υπήρχε κάποιος τρόπος για να δει τα δικά του. Η ομάδα τους θα κέρδιζε αν τουλάχιστον ένας από όλους έβρισκε το χρώμα των αυτοκόλλητων που είχε στο μέτωπό του, όμως θα έπρεπε να είναι σίγουροι για αυτό που θα έλεγαν, γιατί θα έχαναν αν έκαναν λάθος. Δεν έπρεπε, βεβαίως, να μιλούν μεταξύ τους ή να κάνουν νοήματα. Ο παρουσιαστής ρώτησε πρώτα τον Α να του πει το χρώμα των δικών του αυτοκόλλητων, μετά ρώτησε τον Β και μετά τον Γ. Ο Α είπε ότι δεν το ήξερε, το ίδιο ο Β και ο Γ. Ο παρουσιαστής ξαναρώτησε τον Α, που εξακολουθούσε να μην ξέρει, και μετά τον Β, που το είπε σωστά.
Ποιο ήταν το χρώμα των αυτοκόλλητων του Β και πώς το βρήκε;
Αν τα αυτοκόλλητα του Α και του Β ήταν κόκκινα, ο Γ θα ήξερε ότι τα δικά του ήταν μπλε. Ομοίως, αν του Α και του Β ήταν μπλε, ο Γ θα ήξερε ότι είχε δύο κόκκινα. Αν ο Α και ο Β είχαν ο ένας κόκκινα και ο άλλος μπλε, ο Γ θα ήξερε ότι είχε ένα κόκκινο και ένα μπλε. Αν είχε του ίδιου χρώματος, π.χ., κόκκινα, θα ήταν ομοιόχρωμα είτε με του Α είτε με του Β, άρα ο Β ή ο Α αντίστοιχα θα είχε πει από τον πρώτο γύρο ότι είχε μπλε. Αφού ο Γ είπε ότι δεν ήξερε τι χρώμα είχαν τα δικά του αυτοκόλλητα, τα αυτοκόλλητα του Α και του Β δεν ήταν όλα κόκκινα, δεν ήταν όλα μπλε και δεν ήταν του ενός κόκκινα και του άλλου μπλε. Συνεπώς, τα αυτοκόλλητα είτε του Α, είτε του Β, είτε και των δύο ήταν το ένα κόκκινο και το άλλο μπλε.
Επομένως, αν ο Β είχε ίδιου χρώματος αυτοκόλλητα, τότε ο Α στον δεύτερο γύρο θα ήξερε ότι είχε διαφορετικού χρώματος. Αφού, όμως, ο Α εξακολουθούσε να μην ξέρει το χρώμα των αυτοκόλλητων που είχε, ο Β συμπέρανε ότι τα δικά του ήταν το ένα κόκκινο και το άλλο μπλε.
47. Το τετράγωνο με την κομμένη γωνία
Χωρίστε το παρακάτω σχήμα σε τέσσερα τμήματα τα οποία, αν τα συνδυάσετε κατάλληλα, να σχηματίσουν ένα τετράγωνο.
Το εμβαδόν του τετραγώνου με την κομμένη γωνία είναι ίσο με 8 τετραγωνικές μονάδες, αν θεωρηθεί ως μονάδα μήκους η πλευρά των μικρών τετραγώνων στα οποία είναι χωρισμένο. Αυτό το εμβαδόν είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών δύο τετραγώνων που η πλευρά τους έχει μήκος 2 μονάδων. Το ίδιο εμβαδόν έχει, προφανώς, και το τετράγωνο που κατασκευάζεται από τα τμήματα αυτού του σχήματος. Επομένως, σύμφωνα με το πυθαγόρειο θεώρημα, η πλευρά του είναι ίση με την υποτείνουσα ορθογώνιου τριγώνου του οποίου οι κάθετες πλευρές έχουν μήκος 2 μονάδων. Χωρίστε, λοιπόν, αυτό το σχήμα με δύο ευθείες που έχουν το μήκος της υποτείνουσας ενός τέτοιου ορθογώνιου τριγώνου και που είναι κάθετες μεταξύ τους όπως φαίνεται στο πρώτο και στο τρίτο σχήμα. Έπειτα, συνδυάστε τα τέσσερα τμήματα όπως φαίνεται στο δεύτερο και στο τέταρτο σχήμα αντίστοιχα.
48. Ειλικρινείς και ψεύτες (X)
Ο κάθε κάτοικος ενός νησιού είναι είτε ειλικρινής είτε ψεύτης. Οι ειλικρινείς λένε πάντα την αλήθεια και οι ψεύτες λένε πάντα ψέματα. Επίσης, οι κάτοικοι αυτού του νησιού είναι είτε πλούσιοι είτε φτωχοί.
α) Τι μπορεί να πει ένας κάτοικος που είναι πλούσιος και ειλικρινής για να πείσει ότι όντως είναι ένας πλούσιος ειλικρινής;
β) Τι μπορεί να πει ένας κάτοικος που είναι φτωχός και ψεύτης για να πείσει ότι όντως είναι ένας φτωχός ψεύτης;
α) Ένας κάτοικος πλούσιος και ειλικρινής για να πείσει ότι όντως είναι ένας πλούσιος ειλικρινής μπορεί να πει ότι δεν είναι ένας ειλικρινής φτωχός. Ένας ψεύτης, είτε πλούσιος είτε φτωχός, δεν μπορεί να κάνει αυτή τη δήλωση, γιατί όντως δεν είναι ένας ειλικρινής φτωχός. Άρα, ο κάτοικος που κάνει αυτή τη δήλωση είναι οπωσδήποτε ειλικρινής και, αφού η δήλωσή του είναι αληθής, δεν είναι φτωχός, είναι πλούσιος.
β) Ένας κάτοικος φτωχός και ψεύτης για να πείσει ότι όντως είναι ένας φτωχός ψεύτης μπορεί να πει ότι είναι ένας πλούσιος ψεύτης. Ένας ειλικρινής, είτε πλούσιος είτε φτωχός, δεν μπορεί να κάνει αυτή τη δήλωση, γιατί όντως δεν είναι ένας πλούσιος ψεύτης. Άρα, ο κάτοικος που κάνει αυτή τη δήλωση είναι οπωσδήποτε ψεύτης και, αφού η δήλωσή του είναι ψευδής, δεν είναι πλούσιος, είναι φτωχός.
49. Συσκευασίες μολυβιών
Ένα σουπερμάρκετ διαθέτει τα μολύβια αποκλειστικά σε συσκευασίες των 4 και των 7 τεμαχίων. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός μολυβιών που δεν μπορεί κάποιος να αγοράσει από αυτό το σουπερμάρκετ;
Κάθε φυσικός αριθμός ανήκει σε μία από τις ακόλουθες σειρές, στις οποίες κάθε αριθμός είναι κατά 4 μεγαλύτερος από τον προηγούμενό του:
0, 4, 8, 12, 16, 20, ...
1, 5, 9, 13, 17, 21, ...
2, 6, 10, 14, 18, 22,...
3, 7, 11, 15, 19, 23...
Παρατηρήστε ότι, αν ένας αριθμός ισούται με το άθροισμα ενός πολλαπλασίου του 4 και ενός πολλαπλασίου του 7, τότε κάθε επόμενος αριθμός στη σειρά που ανήκει αυτός ο αριθμός ισούται με το άθροισμα ενός μεγαλύτερου πολλαπλασίου του 4 και του ίδιου πολλαπλασίου του 7.
Ο μικρότερος αριθμός που ισούται με το άθροισμα ενός πολλαπλασίου του 4 και ενός πολλαπλασίου του 7 στην πρώτη σειρά είναι το 0 (0 × 4 + 0 × 7), στη δεύτερη σειρά είναι το 21 (0 × 4 + 3 × 7), στην τρίτη το 14 (0 × 4 + 2 × 7) και στην τέταρτη το 7 (0 × 4 + 1 × 7). Αφού όλοι οι επόμενοι αριθμοί έχουν επίσης αυτή την ιδιότητα, στην πρώτη σειρά δεν υπάρχει κάποιος αριθμός που να μην έχει αυτή την ιδιότητα, στη δεύτερη σειρά ο μεγαλύτερος αριθμός που δεν έχει αυτή την ιδιότητα είναι το 17, στην τρίτη σειρά είναι το 10 και στην τέταρτη είναι το 3.
Άρα, το 17 είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που δεν είναι ίσος με το άθροισμα ενός πολλαπλασίου του 4 και ενός πολλαπλασίου του 7. Επομένως, το 17 είναι ο μεγαλύτερος αριθμός μολυβιών που δεν μπορεί κάποιος να αγοράσει αν τα μολύβια διατίθενται αποκλειστικά σε συσκευασίες των 4 και των 7 τεμαχίων.
50. Ελευθερία ή κρεμάλα
Σε μια παράξενη χώρα, οι αρχές δίνουν σε έναν καταδικασμένο σε θάνατο μια ευκαιρία να σωθεί. Ο διευθυντής της φυλακής τον οδηγεί σε έναν χώρο όπου υπάρχουν δύο πόρτες φρουρούμενες από έναν φρουρό η καθεμία. Η μία πόρτα οδηγεί στην ελευθερία και η άλλη στην κρεμάλα. Ο κατάδικος πρέπει να επιλέξει τη μία από τις δύο πόρτες. Ο διευθυντής της φυλακής τον πληροφορεί ότι, πρώτον, και οι δύο φρουροί ξέρουν ποια πόρτα οδηγεί στην ελευθερία και ποια στην κρεμάλα και, δεύτερον, μόνο ο ένας από τους δύο φρουρούς λέει την αλήθεια, ο άλλος λέει πάντα ψέματα. Ο κατάδικος επιτρέπεται να κάνει μόνο μια ερώτηση σε έναν φρουρό. Τι πρέπει να ρωτήσει για να σώσει τη ζωή του;
Ο κατάδικος μπορεί να κάνει την εξής ερώτηση σε έναν από τους δύο φρουρούς: «Αν ρωτούσα τον άλλο φρουρό ποια πόρτα οδηγεί στην ελευθερία, ποια θα μου έδειχνε;».
Αν ο ερωτώμενος φρουρός είναι ο ειλικρινής, θα του δείξει την πόρτα που οδηγεί στην κρεμάλα, γιατί ο άλλος φρουρός θα είναι ο ψεύτης και θα του έδειχνε αυτή την πόρτα. Αν ο ερωτώμενος φρουρός είναι ο ψεύτης, επίσης θα του δείξει την πόρτα που οδηγεί στην κρεμάλα, γιατί ο άλλος φρουρός θα είναι ο ειλικρινής και θα του έδειχνε την πόρτα που οδηγεί στην ελευθερία. Άρα, ο κατάδικος δεν θα πρέπει να επιλέξει την πόρτα που θα του δείξει ο φρουρός, αλλά την άλλη πόρτα.
Επίσης, ο κατάδικος μπορεί να κάνει την εξής ερώτηση σε έναν από τους δύο φρουρούς: «Μπροστά από την πόρτα που οδηγεί στην ελευθερία στέκεται ο ειλικρινής φρουρός;».
Έστω ότι ο ερωτώμενος φρουρός είναι ο ειλικρινής. Αν στέκεται μπροστά από την πόρτα που οδηγεί στην ελευθερία, η απάντηση θα είναι «ναι», ενώ, αν στέκεται μπροστά από την πόρτα που οδηγεί στην κρεμάλα, η απάντηση θα είναι «όχι».
Έστω ότι ο ερωτώμενος φρουρός είναι ο ψεύτης. Αν στέκεται μπροστά από την πόρτα που οδηγεί στην ελευθερία —ο ειλικρινής θα στέκεται μπροστά από την πόρτα που οδηγεί στην κρεμάλα—, η απάντηση θα είναι «ναι». Αν στέκεται μπροστά από την πόρτα που οδηγεί στην κρεμάλα —ο ειλικρινής θα στέκεται μπροστά από την πόρτα που οδηγεί στην ελευθερία—, η απάντηση θα είναι «όχι».
Άρα, αν η απάντηση είναι «ναι», ο κατάδικος θα πρέπει να επιλέξει την πόρτα μπροστά από την οποία στέκεται ο ερωτηθείς φρουρός. Αν η απάντηση είναι «όχι», ο κατάδικος θα πρέπει να επιλέξει την άλλη πόρτα.
Τέλος, ο κατάδικος μπορεί να κάνει την εξής ερώτηση σε έναν από τους δύο φρουρούς: «Ποια πόρτα θα μου έδειχνες φρουρέ, αν σε ρωτούσα ποια πόρτα οδηγεί στην ελευθερία;».
Αν ο φρουρός είναι ο ειλικρινής, θα δείξει στον κατάδικο την πόρτα που οδηγεί στην ελευθερία, γιατί αυτή την πόρτα θα του έδειχνε αν τον ρωτούσε ποια πόρτα οδηγεί στην ελευθερία. Αν ο φρουρός είναι ο ψεύτης, πάλι θα του δείξει τη σωστή πόρτα, γιατί θα του έδειχνε την πόρτα που οδηγεί στην κρεμάλα αν ο κατάδικος του έκανε αυτή την ερώτηση.
51. Ο ποντικός (ΙΙ)
Σε έναν τοίχο υπάρχουν πέντε αβαθείς τρύπες στη σειρά, όπου, πότε στη μία και πότε στην άλλη, κρύβεται ένα ποντίκι. Το ποντίκι, κάθε βράδυ, και μόνο τότε, μετακινείται από την τρύπα όπου τυχαίνει να βρίσκεται σε διπλανή τρύπα. Κάθε πρωί, και ποτέ άλλοτε, έχετε τη δυνατότητα να κοιτάτε σε μία τρύπα της επιλογής σας. Ποια στρατηγική μπορεί να εξασφαλίσει ότι τελικά θα βρείτε το ποντίκι;
Θεωρήστε ότι οι τρύπες είναι αριθμημένες με τους αριθμούς από το 1 έως το 5.
Κάθε μέρα, το ποντίκι βρίσκεται είτε σε μια τρύπα με άρτιο αριθμό είτε σε μια τρύπα με περιττό αριθμό. Άρα, την πρώτη μέρα βρίσκεται είτε σε μια από τις τρύπες 2 και 4 είτε σε μια από τις 1, 3 και 5. Έστω ότι βρίσκεται σε μια από τις τρύπες 2 και 4. Κοιτάτε στην τρύπα 2. Αν δεν είναι εκεί, βρίσκεται στην τρύπα 4. Άρα, τη δεύτερη μέρα θα βρίσκεται είτε στην 3 είτε στην 5. Τη δεύτερη μέρα λοιπόν κοιτάτε στην 3. Αν δεν είναι εκεί, βρίσκεται στην 5 και την τρίτη μέρα θα βρίσκεται στην 4. Άρα, την τρίτη μέρα κοιτάτε στην 4. Αν δεν είναι εκεί, σημαίνει ότι την πρώτη μέρα δεν βρισκόταν σε μια από τις τρύπες 2 και 4, αλλά σε μια από τις 1, 3 και 5. Επειδή ο ποντικός μετακινείται από τρύπα με περιττό αριθμό αναγκαστικά σε τρύπα με άρτιο αριθμό και το αντίστροφο, την τέταρτη μέρα θα βρίσκεται σε μια τρύπα με άρτιο αριθμό, δηλαδή στη 2 ή στην 4. Επομένως, αν την τέταρτη, πέμπτη και έκτη μέρα επαναλάβετε ό,τι κάνατε τις τρεις πρώτες μέρες, θα βρείτε το ποντίκι. Απαιτούνται λοιπόν το πολύ έξι μέρες, κατά τις οποίες κοιτάτε στις τρύπες 2, 3, 4, 2, 3 και 4 αντίστοιχα.
Μια άλλη λύση, εν μέρει διαφορετική, είναι η εξής:
Την πρώτη μέρα, το ποντίκι βρίσκεται σε μια οποιαδήποτε τρύπα. Κοιτάτε στην τρύπα 2. Αν δεν είναι εκεί, την επόμενη μέρα αποκλείεται να βρίσκεται στην 1. Τη δεύτερη μέρα κοιτάτε στην 3. Αν δεν είναι εκεί —δεν είναι ούτε στην 1—, την τρίτη μέρα αποκλείεται να βρίσκεται στη 2. Την τρίτη μέρα κοιτάτε στην 4. Αν δεν είναι εκεί —δεν είναι ούτε στη 2—, σημαίνει ότι βρίσκεται είτε στην 1, είτε στην 3, είτε στην 5. Συνεπώς, την τέταρτη μέρα θα βρίσκεται στη 2 ή στην 4. Κοιτάτε στην τρύπα 2. Αν δεν είναι εκεί, βρίσκεται στην τρύπα 4. Άρα, την πέμπτη μέρα θα βρίσκεται είτε στην 3 είτε στην 5. Τη πέμπτη μέρα λοιπόν κοιτάτε στην 3. Αν δεν είναι εκεί, βρίσκεται στην 5 και την έκτη μέρα θα είναι στην 4. Άρα, την έκτη μέρα κοιτάτε στην 4 και βρίσκετε το ποντίκι.
Με όμοιους συλλογισμούς μπορεί να δειχθεί επίσης ότι βρίσκει κανείς το ποντίκι αν κοιτάξει στις τρύπες με τη σειρά 2, 3, 4, 4, 3, 2, ή με τη σειρά 4, 3, 2, 2, 3, 4, ή με τη σειρά 4, 3, 2, 4, 3, 2.
52. Τετραγωνισμός τριγώνου
Χωρίστε το ισοσκελές τρίγωνο που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα σε τέσσερα τμήματα τα οποία, αν τα συνδυάσετε κατάλληλα, να σχηματίσουν ένα τετράγωνο.
Το εμβαδόν του τριγώνου είναι ίσο με 8 τετραγωνικές μονάδες, αν θεωρηθεί ως μονάδα μήκους η πλευρά των μικρών τετραγώνων. Αυτό το εμβαδόν είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών δύο τετραγώνων που η πλευρά τους έχει μήκος 2 μονάδων. Το ίδιο εμβαδόν έχει, προφανώς, και το τετράγωνο που σχηματίζεται από τα τμήματα του τριγώνου. Επομένως, σύμφωνα με το πυθαγόρειο θεώρημα, η πλευρά του είναι ίση με την υποτείνουσα ορθογώνιου τριγώνου του οποίου οι κάθετες πλευρές έχουν μήκος 2 μονάδων. Χωρίστε, λοιπόν, το τρίγωνο με δύο ευθείες κάθετες μεταξύ τους και ίσες με την υποτείνουσα ενός τέτοιου ορθογώνιου τριγώνου όπως φαίνεται στο πρώτο σχήμα. Έπειτα, συνδυάστε τα τέσσερα τμήματα του τριγώνου όπως φαίνεται στο δεύτερο σχήμα.
53. Τετραγωνίστε το σπιτάκι
Το παρακάτω πεντάπλευρο σχήμα μοιάζει με σπιτάκι. Χωρίστε το σε τρία τμήματα τα οποία, αν τα συνδυάσετε κατάλληλα, να σχηματίσουν ένα τετράγωνο.
Αυτό το πεντάπλευρο σχήμα αποτελείται από ένα τετράγωνο και ένα ορθογώνιο τρίγωνο στο πάνω μέρος του. Αν θεωρηθεί ως μονάδα μήκους η πλευρά των μικρών τετραγώνων στα οποία είναι χωρισμένο, το τετράγωνο έχει διαστάσεις 4 × 4 και το τρίγωνο έχει το ίδιο εμβαδόν με ένα τετράγωνο διαστάσεων 2 × 2. Το συνολικό εμβαδόν, συνεπώς, είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών δύο τετραγώνων με μήκος πλευράς 4 και 2 μονάδων αντίστοιχα. Το ίδιο εμβαδόν έχει, προφανώς, και το τετράγωνο που κατασκευάζεται από τα τμήματα αυτού του σχήματος. Επομένως, σύμφωνα με το πυθαγόρειο θεώρημα, η πλευρά του είναι ίση με την υποτείνουσα ορθογώνιου τριγώνου του οποίου οι κάθετες πλευρές έχουν μήκος 4 και 2 μονάδων αντίστοιχα. Σχεδιάστε, λοιπόν, ένα τέτοιο τετράγωνο πάνω σε αυτό το σχήμα όπως φαίνεται παρακάτω. Έπειτα, συμπληρώστε το εσωτερικό του τετραγώνου με τα δύο τριγωνικά τμήματα που βρίσκονται έξω από αυτό.
54. Ο ειλικρινής, ο ψεύτης και ο αναξιόπιστος (Ι)
Τρεις φίλοι —ο Α, ο Β και ο Γ— είναι πολύ ιδιαίτεροι: κάποιος από τους τρεις λέει πάντα την αλήθεια, είναι ο ειλικρινής της παρέας· κάποιος λέει πάντα ψέματα, είναι ο ψεύτης· και κάποιος λέει άλλοτε την αλήθεια και άλλοτε ψέματα, είναι ο αναξιόπιστος. Ο καθένας από τους τρεις φίλους, βεβαίως, γνωρίζει την ιδιαιτερότητα των άλλων δύο. Σας δίνετε η δυνατότητα να κάνετε τρεις ερωτήσεις απευθυνόμενος κάθε φορά σε έναν από τους τρεις, είτε στον ίδιο είτε σε διαφορετικό, οι οποίες θα απαντηθούν με «ναι» ή «όχι». Μπορείτε να βρείτε ποιος είναι ο ειλικρινής, ποιος είναι ο ψεύτης και ποιος είναι ο αναξιόπιστος;
Κάντε την εξής ερώτηση στον Α: «Αν ρωτούσα κάτι τον Β, θα είχα μεγαλύτερη πιθανότητα να μου πει την αλήθεια από ό,τι ο Γ αν του απηύθυνα την ίδια ερώτηση;».
α) Αν η απάντηση είναι «ναι», υπάρχουν οι εξής περιπτώσεις:
1) Ο Α είναι ο ειλικρινής και, συνεπώς, ο Β είναι ο αναξιόπιστος και ο Γ είναι ο ψεύτης.
2) Ο Α είναι ο ψεύτης και, συνεπώς, ο Β είναι ο αναξιόπιστος και ο Γ είναι ο ειλικρινής.
3) Ο Α είναι ο αναξιόπιστος και, συνεπώς, ο Β είναι ο ειλικρινής και ο Γ είναι ο ψεύτης ή το αντίστροφο.
Επομένως, αν η απάντηση είναι «ναι», ο Γ είναι είτε ο ειλικρινής είτε ο ψεύτης.
β) Αν η απάντηση είναι «όχι», υπάρχουν οι εξής περιπτώσεις:
1) Ο Α είναι ο ειλικρινής και, συνεπώς, ο Β είναι ο ψεύτης και ο Γ είναι ο αναξιόπιστος.
2) Ο Α είναι ο ψεύτης και, συνεπώς, ο Β είναι ο ειλικρινής και ο Γ είναι ο αναξιόπιστος.
3) Ο Α είναι ο αναξιόπιστος και, συνεπώς, ο Β είναι ο ειλικρινής και ο Γ είναι ο ψεύτης ή το αντίστροφο.
Επομένως, αν η απάντηση είναι «όχι», ο Β είναι είτε ο ειλικρινής είτε ο ψεύτης.
Στη συνέχεια, απευθυνθείτε στον Γ αν η απάντηση του Α είναι «ναι» και στον Β αν η απάντηση του Α είναι «όχι» και ρωτήστε κάτι που έχει προφανή απάντηση, π.χ. αν ανατέλλει ο ήλιος από την ανατολή. Από την απάντησή του θα καταλάβετε αν είναι ο ειλικρινής ή ο ψεύτης. Τέλος, ρωτήστε τον ίδιο να σας πει αν ο Α είναι ο αναξιόπιστος. Αφού γνωρίζετε αν λέει αλήθεια ή ψέματα, θα μάθετε τι είναι ο Α και έτσι θα ξέρετε τι είναι και ο τρίτος της παρέας.
55. Τα τέσσερα κουτιά
Σε ένα τεστ λογικής, ο εξεταστής έδωσε σε τέσσερις εξεταζόμενους τέσσερα κλειστά κουτιά και τους είπε τι περιείχαν. Ένα κουτί περιείχε μία κόκκινη μπίλια και δύο άσπρες, ένα περιείχε δύο κόκκινες μπίλιες και μία άσπρη, ένα περιείχε τρεις κόκκινες μπίλιες και ένα περιείχε τρεις άσπρες μπίλιες. Πάνω στα κουτιά ήταν τοποθετημένες οι ετικέτες «ΚΑΑ», «ΚΚΑ», «ΚΚΚ» και «ΑΑΑ», μία στο καθένα. Το «Κ», βεβαίως, σήμαινε κόκκινη μπίλια και το «Α» άσπρη μπίλια. Ο εξεταστής πληροφόρησε τους εξεταζόμενους ότι σε κανένα κουτί δεν ήταν τοποθετημένη η αντίστοιχη με το περιεχόμενό του ετικέτα. Στη συνέχεια, τους είπε να πάρουν ο ένας μετά τον άλλον δύο μπίλιες από το κουτί τους, χωρίς να δουν το περιεχόμενό του, να τις δείξουν σε όλους και να πουν το χρώμα της τρίτης μπίλιας που περιείχε το κουτί τους. Οι εξεταζόμενοι δεν μπορούσαν να δουν τις ετικέτες των άλλων κουτιών, παρά μόνο του δικού τους.
Ο πρώτος εξεταζόμενος έβγαλε από το κουτί του δύο άσπρες μπίλιες και είπε ότι δεν ήξερε το χρώμα της τρίτης μπίλιας.
Ο δεύτερος εξεταζόμενος έβγαλε από το κουτί του δύο κόκκινες μπίλιες και είπε το χρώμα της τρίτης μπίλιας.
Ο τρίτος εξεταζόμενος έβγαλε από το κουτί του μία κόκκινη και μία άσπρη μπίλια και είπε επίσης το χρώμα της τρίτης μπίλιας.
Ο τέταρτος εξεταζόμενος δεν έβγαλε καμία μπίλια από το κουτί του και είπε το χρώμα που είχαν και οι τρεις μπίλιες που περιείχε το κουτί του.
Ποια ετικέτα είχε το κάθε κουτί και τι χρώμα είχαν οι μπίλιες που περιείχε το καθένα;
Ο πρώτος εξεταζόμενος έβγαλε από το κουτί του δύο άσπρες μπίλιες. Αν το κουτί του είχε την ετικέτα «ΑΑΑ», θα ήξερε ότι αυτό περιείχε μία κόκκινη μπίλια και δύο άσπρες. Αν είχε την ετικέτα «ΚΑΑ», θα ήξερε ότι περιείχε τρεις άσπρες. Αφού δεν ήξερε ποιο ήταν το χρώμα της τρίτης μπίλιας, το κουτί του δεν είχε ούτε την ετικέτα «ΑΑΑ» ούτε την «ΚΑΑ». Άρα, το κουτί του είχε είτε την ετικέτα «ΚΚΑ» είτε την «ΚΚΚ».
Ο δεύτερος εξεταζόμενος έβγαλε από το κουτί του δύο κόκκινες μπίλιες. Αφού ήξερε ποιο ήταν το χρώμα της τρίτης μπίλιας, το κουτί του είχε είτε την ετικέτα «ΚΚΑ», οπότε περιείχε τρεις κόκκινες μπίλιες, είτε την ετικέτα «ΚΚΚ», οπότε περιείχε δύο κόκκινες μπίλιες και μία άσπρη.
Συνεπώς, το κουτί του πρώτου εξεταζόμενου είχε την ετικέτα «ΚΚΑ» και το κουτί του δεύτερου την «ΚΚΚ» ή το αντίστροφο.
Επομένως, το κουτί του τρίτου εξεταζόμενου είχε είτε την ετικέτα «ΑΑΑ» είτε την «ΚΑΑ». Ο τρίτος εξεταζόμενος έβγαλε από το κουτί του μία κόκκινη μπίλια και μία άσπρη. Αν αυτό είχε την ετικέτα «ΑΑΑ», δεν θα μπορούσε να ξέρει ποιο ήταν το χρώμα της τρίτης μπίλιας. Αφού όμως ήξερε το χρώμα της τρίτης μπίλιας, το κουτί του είχε την ετικέτα «ΚΑΑ» και, συνεπώς, περιείχε δύο κόκκινες μπίλιες και μία άσπρη.
Αφού το κουτί του τρίτου εξεταζόμενου περιείχε δύο κόκκινες μπίλιες και μία άσπρη, το κουτί του δεύτερου περιείχε τρεις κόκκινες και είχε την ετικέτα «ΚΚΑ». Επομένως, το κουτί του πρώτου εξεταζόμενου είχε την ετικέτα «ΚΚΚ».
Αφού ούτε το κουτί του πρώτου, ούτε του δεύτερου, ούτε του τρίτου εξεταζόμενου είχε την ετικέτα «ΑΑΑ», το κουτί του τέταρτου είχε αυτή την ετικέτα. Άρα, το κουτί του τέταρτου εξεταζόμενου δεν περιείχε τρεις άσπρες μπίλιες. Επομένως, το κουτί του πρώτου περιείχε τρεις άσπρες μπίλιες και του τέταρτου μία κόκκινη και δύο άσπρες.
Από τα παραπάνω είναι φανερό ότι ο τέταρτος εξεταζόμενος είχε όλα τα στοιχεία για να συμπεράνει το χρώμα που είχαν οι τρεις μπίλιες που περιείχε το κουτί του, χωρίς να βγάλει δύο μπίλιες από αυτό. Επίσης, είναι αξιοσημείωτο ότι δεν χρειαζόταν να δει την ετικέτα που είχε το κουτί του – η ετικέτα του τέταρτου κουτιού θα μπορούσε να ήταν σκεπασμένη.
56. Οι κάλπικες λίρες (ΙΙ)
Η αστυνομία έχει κατασχέσει οκτώ σακούλια, το καθένα από τα οποία περιέχει 50 χρυσές λίρες. Οι αστυνομικοί γνωρίζουν ότι πέντε από τα σακούλια περιέχουν γνήσιες λίρες και τρία περιέχουν μόνο κάλπικες, δεν γνωρίζουν όμως ποια είναι αυτά. Επίσης, γνωρίζουν το βάρος της γνήσιας λίρας και το βάρος της κάλπικης, η οποία ζυγίζει 1 γραμμάριο λιγότερο από τη γνήσια. Οι κάλπικες λίρες φαίνονται ίδιες με τις γνήσιες. Πώς θα βρουν ποια σακούλια περιέχουν τις κάλπικες λίρες ζυγίζοντας μία φορά σε ζυγαριά ακριβείας όσο το δυνατόν λιγότερες λίρες;
Οι αστυνομικοί πρέπει να πάρουν από τα οκτώ σακούλια 0, 1, 2, 4, 7, 13, 24 και 44 λίρες αντίστοιχα, συνολικά 95 λίρες, και να τις βάλουν στη ζυγαριά. Αφού η καθεμία από τις κάλπικες λίρες ζυγίζει 1 γραμμάριο λιγότερο από μια γνήσια, η ζυγαριά θα δείξει τόσα γραμμάρια λιγότερο από το κανονικό, όσες θα είναι οι κάλπικες. Τώρα, γνωρίζοντας πόσες από τις 95 λίρες είναι κάλπικες, μπορούν να βρουν από ποια σακούλια τις πήραν, γιατί το πλήθος τους θα αντιστοιχεί σε μία μόνο τριάδα από τους παραπάνω αριθμούς. Για παράδειγμα, αν βρουν ότι οι 95 λίρες ζυγίζουν 32 γραμμάρια λιγότερο από το κανονικό, τότε οι κάλπικες θα είναι 32, που είναι το άθροισμα του 1, του 7 και του 24 και, επομένως, το 2ο, το 5ο και το 7ο σακούλι θα περιέχουν τις κάλπικες.
Οι αριθμοί των λιρών που πρέπει να πάρουν οι αστυνομικοί από τα οκτώ σακούλια βρίσκονται ως εξής:
Θεωρήστε τους αριθμούς αυτών των λιρών ως μια ακολουθία οκτώ αριθμών. Οι οκτώ αριθμοί πρέπει να είναι όσο το δυνατόν μικρότεροι, για να μη ζυγίσουν οι αστυνομικοί πολλές λίρες, και κάθε τριάδα από αυτούς πρέπει να έχει διαφορετικό άθροισμα από κάθε άλλη τριάδα. Οι τέσσερις πρώτοι αριθμοί δεν μπορούν να σχηματίσουν τριάδες με το ίδιο άθροισμα λόγω του πλήθους τους, όμως δεν πρέπει να σχηματίζουν ούτε ζεύγη με το ίδιο άθροισμα, γιατί τότε αυτά τα ζεύγη συνδυαζόμενα με έναν επόμενο αριθμό θα σχηματίζουν τριάδες με το ίδιο άθροισμα. Οι μικρότεροι αριθμοί με τους οποίους αυτό αποφεύγεται είναι οι αριθμοί 0, 1, 2 και 4. Στη συνέχεια, ο καθένας από τους επόμενους αριθμούς πρέπει απλώς να είναι ίσος με το άθροισμα των τριών τελευταίων κάθε φορά αριθμών. Έτσι, εξασφαλίζεται ότι οι τριάδες αριθμών που σχηματίζει με προηγούμενους αριθμούς έχουν διαφορετικό άθροισμα από τις τριάδες που σχηματίζουν οι προηγούμενοι αριθμοί μεταξύ τους. Οι αριθμοί των λιρών, λοιπόν, που πρέπει να πάρουν οι αστυνομικοί από τα οκτώ σακούλια είναι 0, 1, 2, 4, 7, 13, 24 και 44 αντίστοιχα.
Αν οποιοσδήποτε αριθμός της ακολουθίας 0, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44 αντικατασταθεί από κάποιον άλλον μικρότερο, τότε αυτή δεν θα ικανοποιεί το ζητούμενο.
57. Δύο τετράγωνα από ένα (ΙΙ)
Χωρίστε ένα τετράγωνο διαστάσεων 13 × 13 σε ένα τετράγωνο και σε τρία τμήματα τα οποία, αν τα συνδυάσετε κατάλληλα, να σχηματίσουν άλλο ένα τετράγωνο.
Ένα τετράγωνο με διαστάσεις 13 × 13 έχει εμβαδόν που ισούται με το άθροισμα των εμβαδών ενός τετραγώνου με διαστάσεις 12 × 12 και ενός τετραγώνου με διαστάσεις 5 × 5.
Στο πρώτο σχήμα φαίνεται πώς πρέπει να χωρίσετε το τετράγωνο με διαστάσεις 13 × 13. Ένα από τα τμήματα είναι το τετράγωνο με διαστάσεις 5 × 5. Τα άλλα τρία τμήματα σχηματίζουν το τετράγωνο διαστάσεων 12 × 12, όπως φαίνεται στο δεύτερο σχήμα.
58. Τετραγωνισμός λωρίδας
Κόψτε μια λωρίδα από ένα χαρτί, που το μήκος της να είναι πενταπλάσιο από το πλάτος της. Έπειτα, χωρίστε τη σε πέντε τμήματα τα οποία, αν τα συνδυάσετε κατάλληλα, να σχηματίσουν ένα τετράγωνο.
Αν α είναι το πλάτος της λωρίδας, το εμβαδόν της είναι 5α
. Αυτό το εμβαδόν είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών δύο τετραγώνων με μήκος πλευρών 2α και α αντίστοιχα. Το ίδιο εμβαδόν έχει, προφανώς, και το τετράγωνο που σχηματίζεται από τα τμήματα της λωρίδας. Επομένως, σύμφωνα με το πυθαγόρειο θεώρημα, η πλευρά του είναι ίση με την υποτείνουσα ορθογώνιου τριγώνου του οποίου οι κάθετες πλευρές έχουν μήκος 2α και α αντίστοιχα. Χωρίστε, λοιπόν, τη λωρίδα σε τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα των οποίων η μία κάθετη πλευρά έχει μήκος 2α και η άλλη μήκος α, καθώς και σε ένα τετράγωνο με μήκος πλευράς α, όπως φαίνεται στο πρώτο σχήμα. Έπειτα, συνδυάστε τα πέντε τμήματα όπως φαίνεται στο δεύτερο σχήμα.
59. Βαριές και ελαφριές μπίλιες
Έχετε δύο κόκκινες, δύο μπλε και δύο άσπρες μπίλιες και έναν ισοσκελή ζυγό. Όλες οι μπίλιες φαίνονται ίδιες, όμως η μία από τις κόκκινες, η μία από τις μπλε και η μία από τις άσπρες είναι λίγο βαρύτερες από τις άλλες τρεις. Όλες οι βαριές μπίλιες ζυγίζουν το ίδιο και όλες οι ελαφριές ζυγίζουν το ίδιο. Μπορείτε να βρείτε ποιες είναι οι βαριές και ποιες είναι οι ελαφριές μπίλιες με δύο μόνο ζυγίσεις;
Υπάρχουν πολλοί τρόποι, για να βρείτε ποιες είναι οι βαριές και ποιες είναι οι ελαφριές μπίλιες. Ένας τρόπος είναι ο εξής:
Τοποθετείτε μία κόκκινη μαζί με μία μπλε στον έναν δίσκο και μία κόκκινη μαζί με μία άσπρη στον άλλον.
1η περίπτωση: Ο ζυγός ισορροπεί.
Σε αυτή την περίπτωση, η μπλε και η άσπρη μπίλια που βρίσκονται στους δίσκους είναι η μία βαριά και η άλλη ελαφριά.
Στη συνέχεια, τοποθετείτε την μπλε μπίλια στον έναν δίσκο και την άσπρη στον άλλον. Ο ζυγός γέρνει και από την κλίση του συμπεραίνετε ποια είναι η βαριά μπίλια και ποια η ελαφριά. Επίσης, η κόκκινη μπίλια που στην πρώτη ζύγιση ήταν στον ίδιο δίσκο με τη βαριά μπίλια είναι η ελαφριά και η άλλη κόκκινη μπίλια είναι η βαριά. Η μπλε και η άσπρη μπίλια που δεν χρησιμοποιήσατε είναι το αντίθετο όσον αφορά το βάρος τους από την μπλε και την άσπρη μπίλια που χρησιμοποιήσατε.
2η περίπτωση: Ο ζυγός γέρνει.
Σε αυτή την περίπτωση, η βαριά κόκκινη μπίλια βρίσκεται στον βαρύτερο δίσκο. Πράγματι, αν η μπλε και η άσπρη μπίλια που βρίσκονται στους δίσκους είναι και οι δύο βαριές ή και οι δύο ελαφριές, βαρύτερος είναι ο δίσκος όπου βρίσκεται η βαριά κόκκινη μπίλια. Αν η μπλε και η άσπρη μπίλια είναι η μία βαριά και η άλλη ελαφριά, βαρύτερος είναι ο δίσκος όπου βρίσκεται η βαριά μπίλια μαζί με τη βαριά κόκκινη μπίλια.
Τώρα, τοποθετείτε τις δύο κόκκινες μπίλιες μαζί στον έναν δίσκο, και την μπλε και την άσπρη τις τοποθετείτε στον άλλον δίσκο.
Αν ο ζυγός γέρνει από την πλευρά όπου βρίσκονται οι κόκκινες μπίλιες, τότε η μπλε και η άσπρη είναι ελαφριές.
Αν ο ζυγός γέρνει από την πλευρά όπου βρίσκονται η μπλε και η άσπρη, τότε αυτές οι δύο μπίλιες είναι και οι δύο βαριές.
Αν ο ζυγός ισορροπεί, τότε η μπλε και η άσπρη είναι η μία βαριά και η άλλη ελαφριά. Βαριά είναι αυτή που στην πρώτη ζύγιση ήταν στον ίδιο δίσκο με τη βαριά κόκκινη και ελαφριά αυτή που στην πρώτη ζύγιση ήταν στον ίδιο δίσκο με την ελαφριά κόκκινη.
Η μπλε και η άσπρη μπίλια που δεν χρησιμοποιήσατε είναι το αντίθετο όσον αφορά το βάρος τους από την μπλε και την άσπρη μπίλια που χρησιμοποιήσατε.
60. Το ορθογώνιο με την κομμένη γωνία
Το παρακάτω σχήμα είναι ένα ορθογώνιο από το οποίο έχει αφαιρεθεί ένα τμήμα. Χωρίστε αυτό το σχήμα σε τέσσερα τμήματα τα οποία, αν τα συνδυάσετε κατάλληλα, να σχηματίσουν ένα τετράγωνο.
Το εμβαδόν του ορθογωνίου με την κομμένη γωνία είναι ίσο με 10 τετραγωνικές μονάδες, αν θεωρηθεί ως μονάδα μήκους η πλευρά των μικρών τετραγώνων στα οποία είναι χωρισμένο. Αυτό το εμβαδόν είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών δύο τετραγώνων με μήκος πλευράς 3 μονάδων και 1 μονάδας αντίστοιχα. Το ίδιο εμβαδόν έχει, προφανώς, και το τετράγωνο που κατασκευάζεται από τα τμήματα αυτού του σχήματος. Επομένως, σύμφωνα με το πυθαγόρειο θεώρημα, η πλευρά του είναι ίση με την υποτείνουσα ορθογώνιου τριγώνου του οποίου οι κάθετες πλευρές έχουν μήκος 3 μονάδων και 1 μονάδας αντίστοιχα. Χωρίστε, λοιπόν, αυτό το ελλιπές ορθογώνιο με τον τρόπο που φαίνεται στο πρώτο από τα παρακάτω σχήματα. Έπειτα, συνδυάστε τα τέσσερα τμήματα όπως φαίνεται στο δεύτερο σχήμα.
Last updated