21 - 40
21. Αληθής απάντηση
Υπάρχει μια ερώτηση στην οποία, αν απαντήσετε με «ναι» ή «όχι», θα πείτε αναγκαστικά την αλήθεια. Ποια είναι αυτή η ερώτηση;
Η ερώτηση είναι: «Η επόμενη λέξη που θα πείτε θα είναι “ναι”;».
Αν η απάντησή σας είναι «ναι», λέτε την αλήθεια, γιατί η λέξη που λέτε είναι «ναι». Αν η απάντησή σας είναι «όχι», λέτε επίσης την αλήθεια, γιατί η λέξη που λέτε δεν είναι «ναι».
22. Ψευδής απάντηση
Υπάρχει μια ερώτηση στην οποία, αν απαντήσετε με «ναι» ή «όχι», θα πείτε αναγκαστικά ψέματα. Ποια είναι αυτή η ερώτηση;
Η ερώτηση είναι: «Η επόμενη λέξη που θα πείτε θα είναι “όχι”;».
Αν η απάντησή σας είναι «ναι», λέτε ψέματα, γιατί η λέξη που λέτε είναι «ναι», δεν είναι «όχι». Αν η απάντησή σας είναι «όχι», λέτε επίσης ψέματα, γιατί η λέξη που λέτε είναι «όχι» και με την απάντησή σας το αρνείστε.
23. Η διαδρομή του μυρμηγκιού
Ένα δωμάτιο έχει μήκος 5 μέτρα, πλάτος 4 μέτρα και ύψος 3 μέτρα. Σε μια γωνία του πατώματος βρίσκεται ένα μυρμήγκι και θέλει, όσο πιο γρήγορα γίνεται, να φτάσει στη γωνία που βρίσκεται διαγωνίως απέναντι, πάνω στο ταβάνι. Ποια είναι η συντομότερη διαδρομή που μπορεί να ακολουθήσει το μυρμήγκι;
Φανταστείτε το δωμάτιο σαν ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο κουτί και σχεδιάστε το ανάπτυγμά του.
Στο πρώτο από τα παρακάτω αναπτύγματα το μυρμήγκι βρίσκεται στη θέση Α ή στην Α΄ και θέλει να πάει στη θέση Β, ή στη Β΄, ή στη Β΄΄. Στο δεύτερο ανάπτυγμα βρίσκεται στη θέση Α ή στην Α΄΄ και θέλει να πάει στη θέση Β, ή στη Β΄΄ ή στη Β΄΄΄. Από όλες τις ευθύγραμμες διαδρομές που μπορεί να ακολουθήσει, η ΑΒ και η ΑΒ΄΄ είναι οι συντομότερες.
Το μήκος τους υπολογίζεται με το πυθαγόρειο θεώρημα:
ΑΒ΄΄
= ΑΒ
= ΑΜ
+ ΜΒ
= 5
+ 7
= 25 + 49 = 74
ΑΒ΄΄ = ΑΒ = 8,60 μέτρα.
Όπως φαίνεται και στα δύο αναπτύγματα, η διαδρομή ΑΒ περνάει από έναν πλαϊνό τοίχο και έπειτα από το ταβάνι. Η διαδρομή ΑΒ΄΄ περνάει από το πάτωμα και έπειτα από έναν πλαϊνό τοίχο.
24. Το ορθογώνιο κέικ
Από ένα ορθογώνιο κέικ λείπει ένα ορθογώνιο κομμάτι. Πώς πρέπει να κοπεί το υπόλοιπο για να χωριστεί σε δύο ίσα σε μέγεθος κομμάτια; Το κόψιμο πρέπει να γίνει κάθετα προς την επιφάνεια του κέικ και να είναι ευθύγραμμο.
Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο χωρίζεται σε δύο ίσα μέρη από κάθε επίπεδο που περνάει από το κέντρο του. Πρέπει, λοιπόν, το κόψιμο να περνάει από το κέντρο του αρχικού κέικ και από το κέντρο του χώρου που καταλάμβανε το κομμάτι που λείπει. Έτσι, από δύο ίσα κομμάτια του αρχικού κέικ θα λείπουν δύο ίσα κομμάτια.
25. Το πρόβλημα του Monty Hall
Υποθέστε ότι είστε σε ένα τηλεπαιχνίδι. Στη σκηνή υπάρχουν τρεις όμοιες κλειστές πόρτες. Πίσω από τη μία πόρτα υπάρχει ένα αυτοκίνητο, ενώ πίσω από καθεμία από τις άλλες δύο υπάρχει μια κατσίκα. Οι κανόνες είναι οι εξής: Αρχικά, επιλέγετε μια πόρτα. Στη συνέχεια, ο παρουσιαστής του παιχνιδιού ανοίγει μια από τις άλλες δύο πόρτες, για να σας δείξει ότι πίσω από αυτήν υπάρχει μια κατσίκα. Έπειτα, μπορείτε να αλλάξετε την αρχική σας επιλογή. Αν πίσω από την πόρτα που τελικά θα επιλέξετε βρίσκεται το αυτοκίνητο, το κερδίζετε. Ο παρουσιαστής γνωρίζει τι υπάρχει πίσω από κάθε πόρτα και θα ανοίξει οπωσδήποτε μια πόρτα για να φανερώσει μια κατσίκα, όποια πόρτα και αν επιλέξετε.
Τι λέτε λοιπόν να κάνετε όταν μετά την αρχική σας επιλογή ο παρουσιαστής του παιχνιδιού ανοίξει μια πόρτα πίσω από την οποία υπάρχει κάποια από τις κατσίκες; Σας συμφέρει να αλλάξετε την αρχική σας επιλογή ή είναι καλύτερα να εμμείνετε σε αυτήν, ή μήπως είναι το ίδιο;
Ο Monty Hall ήταν ο παρουσιαστής ενός δημοφιλούς τηλεπαιχνιδιού στην Αμερική, του «Let’s Make a Deal», όπου οι συμμετέχοντες αντιμετώπιζαν παρόμοια διλήμματα σαν αυτό της παραπάνω σπαζοκεφαλιάς.
Έστω ότι επιλέγετε την πόρτα 1. Η πιθανότητα να βρίσκεται το αυτοκίνητο πίσω από αυτή την πόρτα είναι 1/3, ενώ η πιθανότητα να βρίσκεται μια κατσίκα είναι 2/3. Είναι, λοιπόν, πιο πιθανό να επιλέξετε αρχικά μια κατσίκα. Επομένως, σας συμφέρει να αλλάξετε την αρχική σας επιλογή. Πιο αναλυτικά, υπάρχουν οι εξής τρεις, το ίδιο πιθανές, περιπτώσεις:
1) Πίσω από την πόρτα 1 υπάρχει το αυτοκίνητο. Πίσω από την πόρτα 2 και την πόρτα 3 υπάρχει μια κατσίκα. Ο παρουσιαστής θα ανοίξει μια από αυτές τις πόρτες.
2) Πίσω από την πόρτα 1 υπάρχει μια κατσίκα. Πίσω από την πόρτα 2 υπάρχει το αυτοκίνητο. Ο παρουσιαστής θα ανοίξει την πόρτα 3.
3) Πίσω από την πόρτα 1 υπάρχει μια κατσίκα. Πίσω από την πόρτα 3 υπάρχει το αυτοκίνητο. Ο παρουσιαστής θα ανοίξει την πόρτα 2.
Αν εμμείνετε στην αρχική σας επιλογή (την πόρτα 1), κερδίζετε μόνο στην πρώτη περίπτωση, άρα η πιθανότητα να κερδίσετε είναι 1/3. Αν, όμως, αλλάξετε την αρχική σας επιλογή, κερδίζετε στη δεύτερη και στην τρίτη περίπτωση, άρα η πιθανότητα να κερδίσετε είναι 2/3. Επομένως, σας συμφέρει να αλλάξετε την αρχική σας επιλογή.
26. Δίκαιο μοίρασμα (ΙΙ)
Όταν δύο άτομα θέλουν να μοιράσουν μεταξύ τους δίκαια ένα κέικ, ο ένας κόβει το κέικ σε δύο κομμάτια και ο άλλος επιλέγει το ένα από τα δύο. Με ποιον τρόπο, όμως, μπορούν τρία άτομα να μοιραστούν δίκαια ένα κέικ;
Πρώτος τρόπος: Κάποιος κινεί ένα μαχαίρι αργά πάνω στην επιφάνεια του κέικ, ξεκινώντας από την άκρη του, έτσι ώστε η ποσότητα του κέικ από τη μια μεριά του μαχαιριού συνεχώς να αυξάνεται. Τη στιγμή κατά την οποία ένας από τους τρεις θεωρήσει ότι το μαχαίρι βρίσκεται σε θέση να κόψει ένα κομμάτι ίσο με το 1/3 του κέικ, ζητάει να κοπεί το κέικ και παίρνει αυτό το κομμάτι. Αν δύο ή και όλοι ζητήσουν ταυτόχρονα να κοπεί το πρώτο κομμάτι από το κέικ, το παίρνει ένας από αυτούς. Μετά, επαναλαμβάνεται το ίδιο και κάποιος άλλος παίρνει το δεύτερο κομμάτι και το υπόλοιπο το παίρνει ο τρίτος. Οι κάτοχοι του πρώτου και του δεύτερου κομματιού προφανώς θεωρούν ότι το κομμάτι τους είναι τουλάχιστον ίσο με το 1/3 του κέικ και ο κάτοχος του τρίτου κομματιού θεωρεί ότι είναι τουλάχιστον ισάξιο με των άλλων.
Δεύτερος τρόπος: Ένας από τους τρεις κόβει ένα κομμάτι από το κέικ που θεωρεί ότι είναι το 1/3 του κέικ και το παίρνει. Αν κάποιος από τους άλλους δύο θεωρεί ότι αυτό το κομμάτι είναι μεγαλύτερο από το 1/3 του κέικ, τότε το κομμάτι πηγαίνει σε αυτόν, αλλά πρέπει να αφαιρέσει ένα τμήμα και να το αφήσει δίπλα στο υπόλοιπο κέικ. Αν και οι δύο θεωρούν ότι το αρχικό κομμάτι είναι μεγαλύτερο από το 1/3 του κέικ, τότε μετά την πρώτη μείωση του κομματιού από τον έναν, αν ο άλλος δεν τη θεωρεί αρκετή, το κομμάτι πηγαίνει σε αυτόν με την υποχρέωση να αφαιρέσει επίσης ένα τμήμα και να το αφήσει δίπλα στο υπόλοιπο κέικ. Κάποιος από τους τρεις, λοιπόν, παίρνει το μερίδιό του, που κατά τη γνώμη του είναι τουλάχιστον το 1/3 του κέικ, και κανείς δεν θεωρεί ότι το μερίδιο αυτό είναι περισσότερο από το 1/3 του κέικ. Μετά, επαναλαμβάνεται το ίδιο με το υπόλοιπο κέικ ανάμεσα στους δύο που δεν έχουν πάρει το μερίδιό τους και έτσι ο ένας παίρνει το δεύτερο μερίδιο και αυτό που απομένει το παίρνει ο άλλος.
Τρίτος τρόπος: Αρχικά, ένας από τους τρεις κόβει το κέικ σε τρία κομμάτια και όλοι παίρνουν τυχαία από ένα κομμάτι. Μετά, ο καθένας έχει τη δυνατότητα να ανταλλάξει το κομμάτι του με το κομμάτι ενός από τους άλλους δύο, αρκεί να επιστρέψει ένα τμήμα από το κομμάτι που πήρε σε αυτόν από τον οποίον το πήρε. Οι ανταλλαγές συνεχίζονται μέχρι κανείς να μη θέλει να ανταλλάξει αυτό που έχει με άλλο κομμάτι.
Τέταρτος τρόπος: Αρχικά, ένας από τους τρεις κόβει το κέικ σε δύο ίσα κατά τη γνώμη του κομμάτια και ένας επιλέγει το ένα από τα δύο κομμάτια. Ο πρώτος θεωρεί ότι έχει το μισό κέικ και ο δεύτερος ότι έχει τουλάχιστον το μισό. Μετά, ο καθένας από αυτούς τους δύο χωρίζει το κομμάτι του σε τρία ίσα κατά τη γνώμη του κομμάτια και ο τρίτος διαλέγει ένα κομμάτι από τον έναν και ένα κομμάτι από τον άλλον. Επομένως, τώρα, ο πρώτος θεωρεί ότι έχει το 1/3 του κέικ, ο δεύτερος ότι έχει τουλάχιστον το 1/3 του κέικ και ο τρίτος, επίσης, ότι έχει τουλάχιστον το 1/3 του κέικ.
27. Το τυλιγμένο σχοινί
Ένα σχοινί είναι ομοιόμορφα τυλιγμένο πέντε φορές γύρω από έναν κύλινδρο. Η μία άκρη του σχοινιού βρίσκεται στη βάση του κυλίνδρου και η άλλη στην κορυφή του. Ο κύλινδρος έχει ύψος 10 εκατοστά και περιφέρεια 16 εκατοστά. Τι μήκος έχει το σχοινί;
Το ανάπτυγμα της παράπλευρης επιφάνειας του κυλίνδρου είναι ένα ορθογώνιο, όπως αυτό που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Οι συνεχείς γραμμές δείχνουν τα σημεία από τα οποία περνάει το τυλιγμένο σχοινί. Αν φέρετε τις διακεκομμένες γραμμές, σχηματίζονται ορθογώνια τρίγωνα με βάση 16 εκατοστά και ύψος 10/5 = 2 εκατοστά, που το καθένα έχει ως υποτείνουσα μια από τις συνεχείς γραμμές.
Το μήκος α καθεμίας από τις συνεχείς γραμμές υπολογίζεται από το πυθαγόρειο θεώρημα:
α
= 16
+ 2
= 256 + 4 = 260 και α = 16,1 εκατοστά.
Άρα, το μήκος του σχοινιού είναι 5⋅16,1 = 80,5 εκατοστά.
28. Δεκαέξι νομίσματα, δεκαπέντε ευθείες
Πώς πρέπει να τοποθετηθούν δεκαέξι νομίσματα, ώστε να σχηματιστούν δεκαπέντε ευθείες σειρές με τέσσερα νομίσματα η καθεμία;
29. Οι πέντε πειρατές
Πέντε πειρατές —ο Α, ο Β, ο Γ, ο Δ και ο Ε— ακολουθώντας τις οδηγίες ενός χάρτη έχουν βρει ένα μικρό σεντούκι που περιέχει 100 χρυσά νομίσματα, το έχουν μεταφέρει στο πλοίο τους και πρόκειται να μοιραστούν τα νομίσματα. Ο Α είναι ανώτερος από τον Β, ο Β από τον Γ, ο Γ από τον Δ και ο Δ από τον Ε. Στο πλοίο δεν υπάρχουν άλλοι πειρατές εκτός από αυτούς τους πέντε.
Οι πειρατές γενικά ακολουθούν τον εξής κανόνα για το μοίρασμα της λείας: Ο πρώτος στην ιεραρχία προτείνει τι θα πάρει ο καθένας και όλοι οι πειρατές (συμπεριλαμβανομένου και του ίδιου) ψηφίζουν. Αν η πρότασή του πλειοψηφήσει ή ισοψηφήσει, η λεία μοιράζεται σύμφωνα με αυτή την πρόταση. Σε αντίθετη περίπτωση, το πλήρωμα τον πετάει στη θάλασσα. Μετά, είναι η σειρά του επόμενου στην ιεραρχία να προτείνει πώς θα μοιραστεί η λεία. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι η πρόταση κάποιου πειρατή να γίνει αποδεκτή.
Ο καθένας από τους πέντε πειρατές σκέφτεται λογικά και θέλει, πρώτον, να επιβιώσει, δεύτερον, να πάρει όσο το δυνατόν μεγαλύτερο μερίδιο από τη λεία και, τρίτον, να ρίξει όσο το δυνατόν περισσότερους στη θάλασσα, αν αυτό δεν σημαίνει ότι θα θέσει σε κίνδυνο τη δική του ζωή ή θα έχει μικρότερο κέρδος.
Τι πρέπει να προτείνει ο A για να μην κινδυνεύσει η ζωή του και να πάρει τον μεγαλύτερο κατά το δυνατόν αριθμό νομισμάτων;
Ο Α πρέπει να προτείνει 98 νομίσματα για τον εαυτό του, 1 για τον Γ και 1 για τον Ε, τον πιο χαμηλόβαθμο. Ο λόγος που ο Α πρέπει να προτείνει αυτή την κατανομή είναι ο εξής:
Αν η πρόταση του Α, η πρόταση του Β και η πρόταση του Γ δεν γίνουν αποδεκτές και οι ίδιοι καταλήξουν στη θάλασσα, ο Δ θα προτείνει να πάρει αυτός όλα τα νομίσματα και ο Ε κανένα. Η πρότασή του θα γίνει αποδεκτή, γιατί αρκεί η δική του ψήφος.
Αν η πρόταση του Α και η πρόταση του Β δεν γίνουν αποδεκτές και οι ίδιοι καταλήξουν στη θάλασσα, ο Γ θα προτείνει να πάρει αυτός 99 νομίσματα και ο Ε 1 νόμισμα. Ο τελευταίος θα το δεχτεί, γιατί σε αντίθετη περίπτωση θα μείνει μόνος του με τον Δ και δεν θα πάρει τίποτα. Επομένως, η πρόταση του Γ θα έχει την πλειοψηφία και θα γίνει αποδεκτή.
Αν η πρόταση του Α δεν γίνει αποδεκτή και μείνουν τέσσερις πειρατές, ο Β θα προτείνει να πάρει ο ίδιος 99 νομίσματα και ο Δ 1 νόμισμα. Ο Δ θα ψηφίσει υπέρ αυτής της πρότασης, γιατί σε αντίθετη περίπτωση θα μείνουν τρεις πειρατές και δεν θα πάρει τίποτα. Επομένως, η πρόταση του Β θα έχει δύο ψήφους στις τέσσερις και θα γίνει αποδεκτή. Μπορεί να πει κανείς ότι είναι επίσης δυνατόν ο Β να προτείνει να πάρει ο Ε 1 νόμισμα, αντί να το πάρει ο Δ. Ο Ε, όμως, θα προτιμήσει τότε να πετάξουν τον Β στη θάλασσα, αφού θα πάρει 1 νόμισμα και στην περίπτωση που θα μείνουν τρεις πειρατές. Αν, λοιπόν, μείνουν τέσσερις πειρατές, ο Γ και ο Ε δεν θα πάρουν κανένα νόμισμα.
Επομένως, ο Α, για να υπερψηφιστεί η πρότασή του, πρέπει να προτείνει να πάρουν ο Γ και ο Ε από 1 νόμισμα και αυτός τα υπόλοιπα 98.
30. Μέρες αλήθειας και ψεύδους (ΙΙ)
Κάποιος λέει την αλήθεια μία ορισμένη μέρα της εβδομάδας και ψέματα τις υπόλοιπες μέρες της εβδομάδας. Επί τρεις συνεχόμενες μέρες έκανε τις εξής δηλώσεις:
Την πρώτη μέρα είπε: «Λέω ψέματα τη Δευτέρα».
Τη δεύτερη μέρα είπε: «Λέω ψέματα την Τρίτη».
Την τρίτη μέρα είπε: «Σήμερα είναι Πέμπτη».
Ποια μέρα της εβδομάδας λέει την αλήθεια;
Υποθέστε ότι αυτός ο παράξενος άνθρωπος λέει την αλήθεια οποιαδήποτε μέρα εκτός Δευτέρας και Τρίτης. Τότε, λέει ψέματα τη Δευτέρα και την Τρίτη. Άρα, την πρώτη και τη δεύτερη μέρα είπε την αλήθεια. Όμως, κατά τη διάρκεια μίας μόνο μέρας της εβδομάδας λέει την αλήθεια. Συνεπώς, η υπόθεση ότι λέει την αλήθεια κάποια μέρα εκτός Δευτέρας και Τρίτης οδηγεί σε αντίφαση. Επομένως, λέει την αλήθεια είτε τη Δευτέρα είτε την Τρίτη.
Υποθέστε ότι λέει την αλήθεια την Τρίτη. Τότε, την πρώτη μέρα είπε την αλήθεια. Συνεπώς, η πρώτη μέρα ήταν Τρίτη. Δύο μέρες μετά είπε ότι ήταν Πέμπτη, άρα είπε επίσης την αλήθεια. Όμως, κατά τη διάρκεια μίας μόνο μέρας της εβδομάδας λέει την αλήθεια. Η υπόθεση, λοιπόν, ότι λέει την αλήθεια την Τρίτη οδηγεί επίσης σε αντίφαση.
Επομένως, λέει την αλήθεια τη Δευτέρα. Τη δεύτερη μέρα είπε την αλήθεια, άρα ήταν Δευτέρα. Η πρώτη μέρα ήταν Κυριακή και είπε ψέματα, γιατί τη Δευτέρα δεν λέει ψέματα, αλλά την αλήθεια. Η τρίτη μέρα ήταν Τρίτη και είπε ψέματα ότι ήταν Πέμπτη.
31. Διάταξη τραπουλόχαρτων 4 × 4
Πάρτε από μια τράπουλα τους άσους, τους ρηγάδες, τις ντάμες και τους βαλέδες, συνολικά δεκαέξι φύλλα. Αρχικά, τοποθετήστε τον άσο μπαστούνι, τον ρήγα κούπα, την ντάμα καρό και τον βαλέ σπαθί στη σειρά, το ένα φύλλο δίπλα στο άλλο. Έπειτα, τοποθετήστε κάτω από αυτή τη σειρά τα υπόλοιπα δώδεκα φύλλα σε τρεις σειρές ανά τέσσερα και με τέτοιον τρόπο, ώστε τα τέσσερα φύλλα οποιασδήποτε γραμμής και στήλης αυτής της 4 × 4 διάταξης, καθώς και των δύο διαγωνίων της, να είναι διαφορετικής αξίας και διαφορετικής φυλής. Υπάρχουν δύο λύσεις.
Υπάρχουν δύο τρόποι με τους οποίους μπορείτε να διατάξετε τις τέσσερις αξίες των φύλλων ή τις τέσσερις φυλές. Αυτοί οι δύο τρόποι φαίνονται στους δύο παρακάτω πίνακες. Με Α, Β, Γ και Δ συμβολίζονται αντίστοιχα οι τέσσερις αξίες των φύλλων ή οι τέσσερις φυλές (δείτε τη σπαζοκεφαλιά «Διάταξη τεσσάρων γραμμάτων 4 × 4»).
Επομένως, μπορείτε να διατάξετε τις τέσσερις αξίες των φύλλων με τον πρώτο τρόπο και τις τέσσερις φυλές με τον δεύτερο και το αντίστροφο. Έτσι, προκύπτουν οι δύο παρακάτω διατάξεις, οι οποίες αποτελούν τις μοναδικές λύσεις του προβλήματος.
32. Κόκκινο ή μπλε
Σε ένα τηλεπαιχνίδι, όπου οι συμμετέχοντες παίκτες καλούνταν να λύσουν διάφορες σπαζοκεφαλιές, ο παρουσιαστής έδεσε τα μάτια σε τρεις παίκτες —στον Α, τον Β και τον Γ— και τους είπε: «Θα σας φορέσω από έναν σκούφο, κόκκινο ή μπλε, και μετά θα λύσετε τα μάτια σας. Αν δείτε τουλάχιστον έναν από σας να φοράει κόκκινο σκούφο, τότε απλώς σηκώστε το χέρι σας. Έπειτα, πρέπει να πείτε το χρώμα του σκούφου που φοράτε. Θα κερδίσει αυτός που θα το πει πρώτος». Στη συνέχεια, φόρεσε στον κάθε παίκτη από έναν κόκκινο σκούφο και οι παίκτες έλυσαν τα μάτια τους. Όπως ήταν φυσικό, όλοι σήκωσαν το χέρι τους και σε λίγο ο Α είπε ότι φοράει κόκκινο σκούφο και κέρδισε. Πώς βρήκε το χρώμα του σκούφου του;
Υποθέστε ότι ο Α φορούσε μπλε σκούφο. Τότε, ο Β θα είχε σκεφτεί ότι, αν φορούσε και ο ίδιος μπλε σκούφο, ο Γ δεν θα είχε σηκώσει το χέρι του, γιατί θα έβλεπε δύο μπλε σκούφους. Άρα, ο Β θα συμπέραινε ότι φορούσε κόκκινο σκούφο. Ομοίως, και ο Γ θα συμπέραινε ότι φορούσε κόκκινο σκούφο.
Αν, λοιπόν, ο Α φορούσε μπλε σκούφο, τότε ο Β και ο Γ θα συμπέραναν ότι φορούσαν κόκκινο. Όμως, ήταν σιωπηλοί. Επομένως, ο Α δεν φορούσε μπλε σκούφο.
Αυτά σκέφτηκε ο Α και είπε ότι φορούσε κόκκινο σκούφο.
33. Τα επτά παιδιά και οι 100 βόλοι
Επτά παιδιά έχουν 100 βόλους. Κανένα δεν έχει τον ίδιο αριθμό βόλων με κάποιο από τα άλλα παιδιά. Μπορείτε να αποδείξετε ότι τρία από τα παιδιά έχουν τουλάχιστον 50 βόλους;
Κατατάξτε τα παιδιά ανάλογα με τον αριθμό των βόλων που έχουν. Πρώτο θεωρήστε το παιδί με τους περισσότερους βόλους και έβδομο το παιδί με τους λιγότερους.
Αν το τρίτο στη σειρά παιδί έχει 16 ή περισσότερους βόλους, τότε το δεύτερο θα έχει τουλάχιστον 17 και το πρώτο τουλάχιστον 18. Άρα, τα τρία πρώτα παιδιά θα έχουν τουλάχιστον 51 βόλους.
Αν το τρίτο στη σειρά παιδί έχει το πολύ 15 βόλους, τότε τα άλλα τέσσερα παιδιά με τους λιγότερους βόλους θα έχουν το πολύ 14, 13, 12 και 11 βόλους αντίστοιχα, συνεπώς θα έχουν το πολύ 50 βόλους. Άρα, τα τρία πρώτα παιδιά θα έχουν τουλάχιστον 50 βόλους.
Επομένως, σε κάθε περίπτωση, τρία παιδιά έχουν τουλάχιστον 50 βόλους.
34. Ειλικρινείς και ψεύτες (ΙX)
Ο κάθε κάτοικος ενός νησιού είναι είτε ειλικρινής είτε ψεύτης. Οι ειλικρινείς κάτοικοι λένε πάντα την αλήθεια και οι ψεύτες λένε πάντα ψέματα. Επίσης, ο κάθε κάτοικος αυτού του νησιού είναι είτε πλούσιος είτε φτωχός.
α) Τι θα μπορούσε να πει ένας κάτοικος που είναι πλούσιος και ψεύτης για να πείσει ότι όντως είναι ένας πλούσιος ψεύτης;
β) Τι θα μπορούσε να πει ένας κάτοικος που είναι φτωχός και ειλικρινής για να πείσει ότι όντως είναι ένας ειλικρινής φτωχός;
α) Ένας κάτοικος πλούσιος και ψεύτης για να πείσει ότι όντως είναι ένας πλούσιος ψεύτης μπορεί να πει ότι είναι ένας φτωχός ψεύτης. Ένας ειλικρινής, είτε πλούσιος είτε φτωχός, δεν μπορεί να κάνει αυτή τη δήλωση, γιατί όντως δεν είναι ένας φτωχός ψεύτης. Άρα, ο κάτοικος που κάνει αυτή τη δήλωση είναι οπωσδήποτε ψεύτης και, αφού η δήλωσή του είναι ψευδής, δεν είναι φτωχός, είναι πλούσιος.
β) Ένας κάτοικος φτωχός και ειλικρινής για να πείσει ότι όντως είναι ένας ειλικρινής φτωχός μπορεί να πει ότι δεν είναι ένας πλούσιος ειλικρινής. Ένας ψεύτης, είτε πλούσιος είτε φτωχός, δεν μπορεί να κάνει αυτή τη δήλωση, γιατί όντως δεν είναι ένας πλούσιος ειλικρινής. Άρα, ο κάτοικος που κάνει αυτή τη δήλωση είναι οπωσδήποτε ειλικρινής και, αφού η δήλωσή του είναι αληθής, δεν είναι πλούσιος, είναι φτωχός.
35. Αντιστοίχιση άκρων
Πέντε καλώδια, με περίβλημα ίδιου χρώματος, έχουν τη μία άκρη τους σε ένα δωμάτιο και την άλλη άκρη τους σε ένα άλλο δωμάτιο. Στις άκρες κάθε καλωδίου υπάρχουν άγραφες ετικέτες. Πρέπει να βρείτε ποιες είναι οι άκρες κάθε καλωδίου και να σημειώσετε την ετικέτα τους, ώστε οι άκρες καθενός να διακρίνονται από τις άκρες των άλλων καλωδίων. Διαθέτετε ένα μολύβι, μια μπαταρία και μια λάμπα που ανάβει αν τη συνδέσετε σε αυτή την μπαταρία. Επιτρέπεται να πάτε μόνο μία φορά από το ένα δωμάτιο στο άλλο και να επιστρέψετε. Πώς θα τα καταφέρετε;
Στο ένα δωμάτιο, συνδέστε το πρώτο καλώδιο με το δεύτερο και το τρίτο με το τέταρτο και αφήστε το τελευταίο καλώδιο μόνο του. Σημειώστε τα δύο ζεύγη γράφοντας, για παράδειγμα, τον αριθμό 1 στις ετικέτες του πρώτου ζεύγους και τον αριθμό 2 σε αυτές του δεύτερου ζεύγους. Πηγαίνετε στο άλλο δωμάτιο και συνδέστε ανά δύο τα καλώδια με τους πόλους της μπαταρίας παρεμβάλλοντας τη λάμπα. Τα ζεύγη των καλωδίων που κλείνουν κύκλωμα (γεγονός που το διαπιστώνετε από το άναμμα της λάμπας) είναι τα καλώδια που συνδέσατε στο πρώτο δωμάτιο. Γράψτε Α1 και Α2 αντίστοιχα στις ετικέτες του πρώτου ζεύγους που κλείνει κύκλωμα και Β1 και Β2 αντίστοιχα σε αυτές του δεύτερου ζεύγους. Ένα καλώδιο δεν κλείνει κύκλωμα με κανένα άλλο, συνεπώς είναι το καλώδιο που δεν συνδέσατε με κάποιο άλλο στο πρώτο δωμάτιο. Γράψτε Χ στην ετικέτα του. Μετά, συνδέστε το Χ με το Α1 και το Α2 με το Β1. Στη συνέχεια, επιστρέψτε στο πρώτο δωμάτιο. Το καλώδιο που είναι μόνο του είναι το Χ. Γράψτε Χ στην ετικέτα του. Συνδέστε το Χ με τον έναν πόλο της μπαταρίας και, αφού πρώτα αποσυνδέστε τα καλώδια που είναι συνδεδεμένα ανά δύο, συνδέστε τα διαδοχικά με τον άλλον πόλο παρεμβάλλοντας τη λάμπα. Το καλώδιο που κλείνει κύκλωμα με το Χ είναι το Α1 και αυτό που ήταν συνδεδεμένο με το Α1 (η ετικέτα του έχει τον ίδιο αριθμό με αυτήν του Α1) είναι το Α2. Γράψτε Α1 και Α2 στις ετικέτες τους αντίστοιχα. Έπειτα, βρείτε ποιο καλώδιο κλείνει κύκλωμα με το Α2, χρησιμοποιώντας πάλι την μπαταρία και τη λάμπα. Αυτό είναι το Β1 και το καλώδιο που ήταν συνδεδεμένο με το Β1 είναι το Β2. Γράψτε Β1 και Β2 στις ετικέτες τους αντίστοιχα. Έτσι, όλες οι ετικέτες θα έχουν σημειωθεί και οι άκρες κάθε καλωδίου θα διακρίνονται από τις άκρες των άλλων καλωδίων.
Με τον ίδιο τρόπο, βεβαίως, μπορείτε να βρείτε ποιες είναι οι άκρες κάθε καλωδίου για οποιοδήποτε περιττό πλήθος καλωδίων.
Τι θα κάνετε, όμως, αν έχετε να αντιμετωπίσετε το ίδιο πρόβλημα, αλλά το πλήθος των καλωδίων είναι άρτιο και μεγαλύτερο από δύο;
Σε αυτή την περίπτωση, αφήστε δύο καλώδια ασύνδετα στο πρώτο δωμάτιο, αντί για ένα που αφήνετε στην περίπτωση του περιττού πλήθους καλωδίων. Στο δεύτερο δωμάτιο, αυτά δεν κλείνουν κύκλωμα με κανένα άλλο καλώδιο, ούτε μεταξύ τους. Γράψτε Χ1 και Χ2 στις ετικέτες τους αντίστοιχα. Επίσης, γράψτε Α1 και Α2 αντίστοιχα στις ετικέτες του πρώτου ζεύγους καλωδίων που κλείνει κύκλωμα, Β1 και Β2 αντίστοιχα σε αυτές του δεύτερου ζεύγους κ.ο.κ. Συνδέστε πάλι το Χ1 με το Α1, το Α2 με το Β1 κ.ο.κ. Στο πρώτο δωμάτιο, βρείτε ποιο από τα δύο ασύνδετα καλώδια δεν κλείνει κύκλωμα με κανένα άλλο. Αυτό είναι το Χ2 και το άλλο ασύνδετο καλώδιο είναι το Χ1. Τα υπόλοιπα καλώδια τα ταυτοποιείτε όπως και στην περίπτωση που το πλήθος των καλωδίων είναι περιττό.
36. Η αβγοθήκη (Ι)
Το παρακάτω σχήμα παριστάνει μια τετράγωνη αβγοθήκη που χωράει 5 × 5 = 25 αβγά. Πόσα αβγά μπορούν να τοποθετηθούν σε μια τέτοια αβγοθήκη και σε ποιες θέσεις, αν δεν πρέπει να βρίσκονται παραπάνω από δύο σε οποιαδήποτε ευθεία γραμμή —οριζόντια, κάθετη ή πλάγια;
Είναι δυνατόν να τοποθετηθούν δέκα αβγά με πέντε διαφορετικούς τρόπους, αν δεν ληφθούν υπόψη οι λύσεις που προκύπτουν από ανάκλαση ή περιστροφή αυτών των πέντε βασικών διατάξεων.
37. Οι μοναχοί
Σε ένα μοναστήρι, μερικοί μοναχοί πάσχουν από μια μη μεταδοτική ασθένεια η οποία φανερώνεται με κόκκινα σημάδια στο πρόσωπο και δεν έχει κανένα άλλο σύμπτωμα, αποβαίνει όμως μοιραία για τον ασθενή αν δεν ακολουθήσει κατάλληλη φαρμακευτική αγωγή.
Οι μοναχοί έχουν δώσει τον όρκο της σιωπής και όχι μόνο δεν μιλούν, αλλά δεν επικοινωνούν και με κανέναν απολύτως τρόπο. Επίσης, τηρούν μια παράδοση που δεν τους επιτρέπει —ποτέ και για κανέναν λόγο— να κοιτάξουν τον εαυτό τους σε οποιαδήποτε κατοπτρική επιφάνεια. Η μόνη φορά που βρίσκονται όλοι μαζί κατά τη διάρκεια της ημέρας και μπορεί ο καθένας να δει όλους τους άλλους είναι το βράδι, που κάθονται όλοι σε ένα μεγάλο τραπέζι και παίρνουν το δείπνο τους. Κάθε μοναχός το μεσημέρι γευματίζει μόνος του και κατά τη διάρκεια της ημέρας είτε ασχολείται με διάφορες εργασίες επίσης μόνος του είτε είναι στο κελί του και διαλογίζεται.
Όσον αφορά την υγεία των μοναχών, ο κανονισμός του μοναστηριού επιβάλλει στους μοναχούς να μεταβούν στο κοντινότερο νοσοκομείο την επόμενη μέρα το πρωί από τη στιγμή που θα αντιληφθούν ότι είναι άρρωστοι. Κανείς ωστόσο από τους ασθενείς δεν έχει αντιληφθεί την ασθένειά του, αφού δεν υπάρχει κάποιος τρόπος να πληροφορηθεί για την ύπαρξη των κόκκινων σημαδιών στο πρόσωπό του.
Ο ηγούμενος είναι ο μόνος που μπορεί σε εξαιρετικές περιπτώσεις να μιλήσει στους μοναχούς. Με ανησυχία βλέπει ότι υπάρχουν ασθενείς και κανείς τους δεν πηγαίνει στο νοσοκομείο. Για να αντιμετωπίσει αυτή την κατάσταση, πριν το δείπνο μιας μέρας ανακοινώνει στους καθήμενους γύρω από το τραπέζι μοναχούς ότι τουλάχιστον ένας μοναχός έχει κόκκινα σημάδια στο πρόσωπό του. Το πρωί της πρώτης μέρας, από τις μέρες που ακολούθησαν την ανακοίνωση του ηγούμενου, κανένας ασθενής δεν φεύγει από το μοναστήρι, ούτε το πρωί της δεύτερης, ούτε της τρίτης, ούτε της τέταρτης μέρας. Το πρωί, όμως, της πέμπτης μέρας, παραδόξως, φεύγουν όλοι οι ασθενείς για να πάνε στο νοσοκομείο.
Η ερώτηση είναι: Πόσοι ήταν οι ασθενείς μοναχοί;
Αν υπήρχε μόνο ένας ασθενής, ο ίδιος δεν θα έβλεπε κανέναν από τους άλλους μοναχούς να είναι ασθενής και θα καταλάβαινε ότι αυτός ήταν ο ασθενής. Έτσι, το πρωί της πρώτης μέρας, από τις μέρες που ακολούθησαν την ανακοίνωση του ηγούμενου, ο ένας και μοναδικός ασθενής θα έφευγε από το μοναστήρι για να πάει στο νοσοκομείο.
Αν οι ασθενείς ήταν δύο, ο Α και ο Β, ο Α θα έβλεπε ότι από όλους τους μοναχούς μόνο ο Β ήταν ασθενής. Επομένως, θα περίμενε, όπως ειπώθηκε προηγουμένως, ότι ο Β θα έφευγε για το νοσοκομείο την πρώτη μέρα το πρωί. Όταν, όμως, το βράδι αυτής της μέρας, κατά τη διάρκεια του δείπνου, ο Α θα έβλεπε πάλι τον Β, θα συμπέραινε ότι ο Β δεν έφυγε γιατί έβλεπε ότι κάποιος άλλος ήταν ασθενής. Αφού ο Α δεν θα έβλεπε κανέναν άλλον εκτός του Β να είναι ασθενής, θα καταλάβαινε ότι ήταν και ο ίδιος ασθενής. Ομοίως, κατά τη διάρκεια του δείπνου της πρώτης μέρας, ο Β θα καταλάβαινε ότι ήταν ασθενής,. Έτσι, τη δεύτερη μέρα το πρωί, και οι δύο θα έφευγαν για το νοσοκομείο.
Αν οι ασθενείς ήταν τρεις, ο Α, ο Β και ο Γ, ο Α θα έβλεπε ότι ο Β και ο Γ ήταν ασθενείς. Επομένως, θα περίμενε ότι αυτοί οι δύο μοναχοί θα έφευγαν για το νοσοκομείο τη δεύτερη μέρα το πρωί, όπως ειπώθηκε προηγουμένως. Όταν, όμως, το βράδυ αυτής της μέρας, κατά τη διάρκεια του δείπνου, ο Α θα τους έβλεπε πάλι, θα συμπέραινε ότι οι ασθενείς δεν ήταν μόνο δύο, αλλά υπήρχε και τρίτος, και, αφού δεν θα έβλεπε κανέναν άλλον ασθενή, θα καταλάβαινε ότι αυτός ο τρίτος ασθενής ήταν ο ίδιος. Ομοίως, ο Β και ο Γ θα καταλάβαιναν, κατά τη διάρκεια του δείπνου της δεύτερης μέρας, ότι ήταν ασθενείς. Έτσι, την τρίτη μέρα το πρωί, και οι τρεις θα έφευγαν για το νοσοκομείο.
Αν οι ασθενείς ήταν τέσσερις ή πέντε, ομοίως συμπεραίνεται ότι θα έφευγαν για το νοσοκομείο την τέταρτη και την πέμπτη μέρα αντίστοιχα.
Αφού, λοιπόν, οι ασθενείς έφυγαν την πέμπτη μέρα το πρωί, ήταν πέντε.
38. Η πλακόστρωση (ΙΙ)
Υποθέστε ότι θέλετε να καλύψετε μια επιφάνεια διαστάσεων 8 × 8 με πλακίδια διαστάσεων 1 × 3 και με ένα πλακίδιο διαστάσεων 1 × 1. Σε ποια θέση πρέπει να τοποθετήσετε το τετραγωνικό πλακίδιο;
Χρωματίστε τα τετράγωνα με τρία διαφορετικά χρώματα εναλλάξ, όπως φαίνεται στο πρώτο από τα παρακάτω σχήματα.
Κάθε πλακίδιο 1 × 3 θα καλύψει τρία συνεχόμενα τετράγωνα, είτε οριζοντίως είτε καθέτως, άρα θα καλύψει τρία τετράγωνα διαφορετικού χρώματος. Υπάρχει ένα μαύρο τετράγωνο περισσότερο από τα γκρι και τα άσπρα, συνεπώς το πλακίδιο 1 × 1 θα καλύψει οπωσδήποτε ένα μαύρο τετράγωνο. Αν περιστρέψετε αυτό το σχέδιο κατά 90°, υπάρχουν μόνο τέσσερις θέσεις στις οποίες τα τετράγωνα είναι πάλι μαύρα, όπως φαίνεται στο δεύτερο σχήμα. Επομένως, πρέπει να τοποθετήσετε το πλακίδιο 1 × 1 σε μια από αυτές τις τέσσερις θέσεις, για να βρίσκεται σε μαύρο τετράγωνο είτε χρωματίσετε την επιφάνεια όπως στο πρώτο σχήμα είτε τη χρωματίσετε όπως στο δεύτερο σχήμα.
Μία λύση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
39. Η τούρτα
Έχετε μπροστά σας μια τετράγωνη τούρτα στην πάνω επιφάνεια της οποίας είναι σχεδιασμένο με σοκολάτα ένα πλέγμα 3 × 3 και στο κέντρο της βρίσκεται ένα κερασάκι. Μπορείτε να τη χωρίσετε σε δώδεκα, σε έξι ή σε τρία κομμάτια ίδιου μεγέθους; Τα κοψίματα πρέπει να γίνουν, όπως συνήθως, ευθύγραμμα από το κέντρο προς τις άκρες της τούρτας.
Η τούρτα χωρίζεται σε δώδεκα ισομεγέθη κομμάτια όπως φαίνεται στο πρώτο σχήμα.
Πράγματι, η πάνω επιφάνεια κάθε κομματιού είναι τριγωνικού σχήματος και αυτά τα τρίγωνα έχουν ίσες βάσεις και ίσα ύψη και, επομένως, έχουν το ίδιο εμβαδόν. Έτσι, αυτά τα δώδεκα κομμάτια είναι ισομεγέθη.
Η τούρτα χωρίζεται σε έξι ή σε τρία ισομεγέθη κομμάτια όπως φαίνεται στο δεύτερο και τρίτο σχήμα αντίστοιχα.
40. Ο ποντικός (Ι)
Σε έναν τοίχο υπάρχουν τέσσερις αβαθείς τρύπες στη σειρά, όπου, πότε στη μία και πότε στην άλλη, κρύβεται ένα ποντίκι. Το ποντίκι, κάθε βράδυ, και μόνο τότε, μετακινείται από την τρύπα όπου τυχαίνει να βρίσκεται σε διπλανή τρύπα. Κάθε πρωί, και ποτέ άλλοτε, έχετε τη δυνατότητα να κοιτάτε σε μια τρύπα της επιλογής σας. Ποια στρατηγική μπορεί να εξασφαλίσει ότι τελικά θα βρείτε το ποντίκι;
Θεωρήστε ότι οι τρύπες είναι αριθμημένες με τους αριθμούς από το 1 έως το 4.
Κάθε μέρα, το ποντίκι βρίσκεται είτε σε μια τρύπα με άρτιο αριθμό είτε σε μια τρύπα με περιττό αριθμό. Άρα, την πρώτη μέρα βρίσκεται είτε σε μια από τις τρύπες 2 και 4 είτε σε μια από τις 1 και 3. Έστω ότι βρίσκεται σε μια από τις τρύπες 2 και 4. Κοιτάτε στην τρύπα 2. Αν δεν είναι εκεί, βρίσκεται στην τρύπα 4. Άρα, τη δεύτερη μέρα θα βρίσκεται στην 3. Τη δεύτερη μέρα λοιπόν κοιτάτε στην 3. Αν δεν είναι εκεί, σημαίνει ότι την πρώτη μέρα δεν βρισκόταν σε μια από τις τρύπες 2 και 4, αλλά σε μια από τις 1 και 3. Επειδή ο ποντικός μετακινείται από τρύπα με περιττό αριθμό αναγκαστικά σε τρύπα με άρτιο αριθμό και το αντίστροφο, την τρίτη μέρα θα βρίσκεται πάλι σε μια από τις τρύπες 1 και 3. Κοιτάτε στην τρύπα 3. Αν δεν είναι εκεί, βρίσκεται στην τρύπα 1. Άρα, τη τέταρτη μέρα θα βρίσκεται στη 2. Την τέταρτη μέρα κοιτάτε στη 2 και βρίσκετε το ποντίκι. Απαιτούνται λοιπόν το πολύ τέσσερις μέρες, κατά τις οποίες κοιτάτε στις τρύπες 2, 3, 3 και 2 αντίστοιχα.
Μια άλλη λύση, εν μέρει διαφορετική, είναι η εξής:
Την πρώτη μέρα, ο ποντικός βρίσκεται σε μια οποιαδήποτε τρύπα. Κοιτάτε στην τρύπα 2. Αν δεν είναι εκεί, την επόμενη μέρα αποκλείεται να βρίσκεται στην 1. Τη δεύτερη μέρα κοιτάτε στην 3. Αν δεν είναι εκεί —δεν είναι ούτε στην 1—, την τρίτη μέρα αποκλείεται να βρίσκεται στην 2 ή στην 4. Άρα, θα βρίσκετε στην 1 ή στην 3. Την τρίτη μέρα κοιτάτε στην 3. Αν δεν βρίσκεται εκεί, βρίσκεται στην 1. Άρα, την τέταρτη μέρα θα βρίσκεται στη 2. Την τέταρτη μέρα κοιτάτε στη 2 και βρίσκετε το ποντίκι.
Last updated