61 - 73
61. Οι 10 φυλακισμένοι και η λάμπα
Σε μια φυλακή μιας παράξενης χώρας κρατούνται 10 φυλακισμένοι σε απομονωμένα κελιά από τα οποία δεν μπορούν να δουν ο ένας τον άλλον και να μιλήσουν ή να επικοινωνήσουν μεταξύ τους με οποιονδήποτε τρόπο. Ο διευθυντής της φυλακής, για να τους δώσει μια ευκαιρία να αποφυλακιστούν, τους συγκεντρώνει στην αυλή της φυλακής και τους ανακοινώνει τα εξής: Κάθε μέρα ένας δεσμοφύλακας θα διαλέγει τυχαία έναν φυλακισμένο και θα τον πηγαίνει σε ένα δωμάτιο της φυλακής, χωρίς αυτό να είναι αντιληπτό από τους υπόλοιπους. Σε αυτό το δωμάτιο θα υπάρχει μια λάμπα. Όσο θα βρίσκεται εκεί, ο φυλακισμένος, αν θέλει, μπορεί να ανάψει τη λάμπα αν είναι σβηστή ή να τη σβήσει αν είναι αναμμένη. Το φως της λάμπας δεν θα φαίνεται από τα κελιά και η λάμπα αρχικά θα είναι σβηστή. Αν κάποιος από τους φυλακισμένους κάποια μέρα ισχυριστεί ότι όλοι οι φυλακισμένοι έχουν πάει σε αυτό το δωμάτιο και ο ισχυρισμός του είναι σωστός, όλοι οι φυλακισμένοι θα ελευθερωθούν. Αν όμως ο ισχυρισμός του δεν είναι σωστός, τότε θα μείνουν στη φυλακή για πάντα.
Ο διευθυντής τούς επιτρέπει να ανταλλάξουν ιδέες και να καταστρώσουν ένα σχέδιο, πριν τους κλείσουν οι δεσμοφύλακες και πάλι στα κελιά τους. Σε τι σχέδιο πρέπει να συμφωνήσουν οι φυλακισμένοι, για να είναι κάποια μέρα κάποιος από αυτούς σίγουρος ότι όλοι έχουν περάσει από αυτό το δωμάτιο;
Οι φυλακισμένοι πρέπει να επιλέξουν έναν αρχηγό και να κάνουν τα εξής:
Κάθε φυλακισμένος, εκτός του αρχηγού, όταν θα μπαίνει στο δωμάτιο και θα βρίσκει τη λάμπα αναμμένη, θα την αφήνει αναμμένη. Την πρώτη φορά που θα βρει τη λάμπα σβηστή, θα την ανάψει, όμως θα την αφήνει σβηστή κάθε επόμενη φορά που θα μπαίνει στο δωμάτιο και θα τη βρίσκει σβηστή. Όταν ο αρχηγός θα μπαίνει στο δωμάτιο, θα σβήνει τη λάμπα. Αν είναι ήδη σβηστή, θα την αφήνει σβηστή.
Άρα, κάθε φυλακισμένος θα ανάψει τη λάμπα μία μόνο φορά και κανείς δεν θα τη σβήνει εκτός από τον αρχηγό. Επομένως, ο αρχηγός, κάθε φορά που θα σβήνει τη λάμπα, θα ξέρει ότι ένας επιπλέον φυλακισμένος πέρασε για πρώτη φορά από το δωμάτιο. Όταν θα έχει σβήσει τη λάμπα 9 φορές, θα είναι σίγουρος ότι όλοι οι φυλακισμένοι έχουν περάσει από το δωμάτιο.
62. Ψηλοί και κοντοί
Θεωρήστε μια ορθογώνια διάταξη στοιχισμένων ανθρώπων. Σε κάθε σειρά της διάταξης κάποιος είναι ψηλότερος από τους άλλους της ίδιας σειράς και σε κάθε στοίχο κάποιος είναι κοντύτερος από τους άλλους του ίδιου στοίχου. Αν ο Α είναι ο κοντύτερος αυτών που είναι οι ψηλότεροι στη σειρά τους και ο Β είναι ο ψηλότερος αυτών που είναι οι κοντύτεροι στον στοίχο τους, ποιος είναι ψηλότερος, ο Α ή ο Β;
Ο Α είναι ψηλότερος από τον Β.
Υπάρχουν τρεις περιπτώσεις για τη θέση του Α σε σχέση με τη θέση του Β και η καθεμία εξετάζεται ξεχωριστά:
1) Ο Α βρίσκεται στην ίδια σειρά με τον Β.
Είναι γνωστό ότι ο Α είναι ο ψηλότερος στη σειρά του, άρα είναι ψηλότερος από τον Β.
2) Ο Α βρίσκεται στον ίδιο στοίχο με τον Β.
Είναι γνωστό ότι ο Β είναι ο κοντύτερος στον στοίχο του, άρα είναι κοντύτερος από τον Α.
3) Ο Α δεν βρίσκεται ούτε στην ίδια σειρά ούτε στον ίδιο στοίχο με τον Β.
Κάποιος βρίσκεται στην ίδια σειρά με τον Α και στον ίδιο στοίχο με τον Β. Αυτός, προφανώς, είναι κοντύτερος από τον Α και ψηλότερος από τον Β. Άρα, ο Α είναι ψηλότερος από τον Β.
63. Η επιβίωση του προβάτου
Σε ένα νησί υπάρχει άφθονο χορτάρι, πολλά φυτά και δέντρα. Τα μόνα ζώα στο νησί είναι 100 λιοντάρια και ένα πρόβατο.
Τα λιοντάρια έχουν τις ακόλουθες ιδιαίτερες ιδιότητες:
Είναι απεριόριστα λογικά, έξυπνα και αντιλαμβάνονται πλήρως το περιβάλλον τους.
Μπορούν να ζήσουν τρώγοντας μόνο χορτάρι, αν και προτιμούν να φάνε το πρόβατο.
Αν ένα λιοντάρι φάει το πρόβατο, μετατρέπεται σε πρόβατο και με τη σειρά του μπορεί να φαγωθεί από άλλο λιοντάρι.
Τα λιοντάρια τρώνε το πρόβατο μόνο αν είναι βέβαια ότι μετατρεπόμενα σε πρόβατο δεν θα φαγωθούν από άλλα λιοντάρια.
Υποθέστε ότι ένα λιοντάρι είναι πάντα πιο κοντά στο πρόβατο από ό,τι τα άλλα λιοντάρια και θα φτάσει πρώτο σε αυτό. Το πρόβατο δεν μπορεί να ξεφύγει από το λιοντάρι, αν το λιοντάρι αποφασίσει να το φάει.
Το ερώτημα είναι: Θα επιβιώσει το μοναδικό πρόβατο του νησιού ή θα φαγωθεί;
Το πρόβατο θα επιβιώσει.
Το πρόβατο επιβιώνει, γιατί στο νησί ζει άρτιο πλήθος λιονταριών, ενώ θα τρωγόταν από κάποιο λιοντάρι αν το πλήθος των λιονταριών ήταν περιττό.
Έστω ότι στο νησί ζουν ένα λιοντάρι και ένα πρόβατο. Τότε, το λιοντάρι θα φάει το πρόβατο, αφού δεν υπάρχει άλλο λιοντάρι και δεν κινδυνεύει να φαγωθεί όταν το ίδιο μετατραπεί σε πρόβατο.
Έστω ότι στο νησί ζουν δύο λιοντάρια και ένα πρόβατο. Τότε, το πρόβατο θα συνεχίσει να ζει, γιατί κάθε λιοντάρι ξέρει ότι τρώγοντάς το θα μετατραπεί το ίδιο σε πρόβατο και θα φαγωθεί από το δεύτερο και μοναδικό πλέον λιοντάρι στο νησί.
Έστω ότι στο νησί ζουν τρία λιοντάρια και ένα πρόβατο. Τότε, όποιο λιοντάρι προλάβει θα φάει το πρόβατο γιατί ξέρει ότι μετατρεπόμενο σε πρόβατο θα υπάρχουν δύο λιοντάρια στο νησί και, επομένως, δεν πρόκειται να φαγωθεί, όπως ειπώθηκε προηγουμένως.
Έστω ότι στο νησί ζουν τέσσερα λιοντάρια και ένα πρόβατο. Τότε, το πρόβατο θα συνεχίσει να ζει γιατί κάθε λιοντάρι ξέρει ότι τρώγοντάς το θα μετατραπεί το ίδιο σε πρόβατο και θα φαγωθεί από ένα από τα τρία λιοντάρια που θα υπάρχουν στο νησί.
Ομοίως βρίσκει κανείς ότι το πρόβατο δεν επιβιώνει αν τα λιοντάρια είναι πέντε, επιβιώνει αν τα λιοντάρια είναι έξι κ.ο.κ. Το πρόβατο, λοιπόν, δεν επιβιώνει αν ο αριθμός των λιονταριών είναι περιττός και επιβιώνει αν είναι άρτιος.
64. Ο ειλικρινής, ο ψεύτης και ο αναξιόπιστος (ΙΙ)
Τρεις φίλοι —ο Α, ο Β και ο Γ— είναι πολύ ιδιαίτεροι: κάποιος από τους τρεις λέει πάντα την αλήθεια, είναι ο ειλικρινής της παρέας· κάποιος λέει πάντα ψέματα, είναι ο ψεύτης· και κάποιος λέει άλλοτε την αλήθεια και άλλοτε ψέματα, είναι ο αναξιόπιστος. Ένας νεαρός, που έμαθε ότι οι τρεις φίλοι έχουν αυτές τις ιδιαίτερες συμπεριφορές, τους ζήτησε να του αποκαλύψουν ποιος είναι ο ειλικρινής, ποιος είναι ο ψεύτης και ποιος είναι ο αναξιόπιστος. Ο Α του είπε ότι δεν είναι ο αναξιόπιστος και ο Β του είπε ότι είναι ο αναξιόπιστος. Στην πραγματικότητα, ο Γ είναι ο αναξιόπιστος. Ο νεαρός ρώτησε τον Γ αν ο Β είπε την αλήθεια. Η απάντηση του Γ ήταν τέτοια, που ο νεαρός δεν κατάφερε να μάθει ποιος είναι ο ειλικρινής, ποιος είναι ο ψεύτης και ποιος είναι ο αναξιόπιστος. Ποια ήταν η απάντηση του Γ;
Αν ο Α ήταν ο ψεύτης, δεν θα έλεγε ότι δεν είναι ο αναξιόπιστος, γιατί αυτό θα ήταν αλήθεια. Επίσης, αν ο Β ήταν ο ειλικρινής, δεν θα έλεγε ότι είναι ο αναξιόπιστος, γιατί αυτό θα ήταν ψέμα. Επομένως, ο νεαρός, ακούγοντας τον Α και τον Β, συμπέρανε ότι ο Α δεν είναι ο ψεύτης και ο Β δεν είναι ο ειλικρινής.
Ο νεαρός, λοιπόν, κατέληξε ότι υπάρχουν οι τρεις περιπτώσεις που αναφέρονται στον παρακάτω πίνακα για τους τρεις φίλους.
Αν ο Γ απαντούσε καταφατικά, ο νεαρός θα καταλάβαινε ότι ο Γ είναι ο αναξιόπιστος, γιατί μόνο σε αυτή την περίπτωση ο Γ θα μπορούσε να πει ότι ο Β είναι ο αναξιόπιστος. Επομένως, ο Γ απάντησε αρνητικά και ο νεαρός δεν έμαθε τι είναι ο καθένας, αφού ο Γ θα μπορούσε να δώσει αρνητική απάντηση και στις τρεις περιπτώσεις.
65. Τετράγωνο γύρω από τετράγωνο
Χωρίστε ένα τετράγωνο με δύο ευθείες γραμμές σε τέσσερα ίδια τμήματα τα οποία, αν τα τοποθετήσετε συμμετρικά γύρω από ένα μικρότερο τετράγωνο, να σχηματίσουν πάλι ένα τετράγωνο χωρίς να αφήνουν κενά μεταξύ τους.
Σχεδιάστε τα δύο τετράγωνα όπως φαίνεται στο πρώτο σχήμα και μετά φέρτε μια ευθεία γραμμή από την πάνω αριστερή κορυφή του ενός τετραγώνου έως την αντίστοιχη του άλλου. Η ευθεία αυτή είναι υποτείνουσα ορθογώνιου τριγώνου που έχει κάθετες πλευρές τις πλευρές των δύο τετραγώνων, επομένως, σύμφωνα με το πυθαγόρειο θεώρημα, είναι ίση με την πλευρά του τετραγώνου που ζητείται να σχηματιστεί από το μικρό τετράγωνο και τα τμήματα του μεγάλου. Στη συνέχεια, χαράξτε μια ευθεία παράλληλη και μια κάθετη προς την υποτείνουσα του ορθογώνιου τριγώνου που να περνούν από το κέντρο του μεγάλου τετραγώνου. Οι δύο αυτές ευθείες χωρίζουν το μεγάλο τετράγωνο σε τέσσερα ίσα τμήματα και είναι ίσες με την υποτείνουσα του ορθογώνιου τριγώνου. Αν, λοιπόν, τοποθετήσετε αυτά τα τέσσερα τμήματα γύρω από το μικρό τετράγωνο όπως φαίνεται στο δεύτερο σχήμα, θα σχηματίσουν ένα τετράγωνο.
66. Τεστ αντοχής
Μια εταιρεία παρασκευής νέων συνθετικών υλικών έχει αναθέσει σε έναν υπάλληλό της την εξής εργασία: Να πάει σε ένα 37-όροφο κτίριο (έχει 36 ορόφους πάνω από το ισόγειο) και να βρει ποιος είναι ο υψηλότερος όροφος από τον οποίον, αν αφήσει να πέσει μια μπίλια κατασκευασμένη από ένα νέο υλικό, δεν θα σπάσει. Στον υπάλληλο έχουν δώσει μόνο δύο τέτοιες μπίλιες για να δοκιμάσει την αντοχή του νέου υλικού. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός των δοκιμών που χρειάζεται να γίνουν; Στην περίπτωση που μια μπίλια δεν σπάσει κατά την σύγκρουσή της με το έδαφος, διατηρεί την ποιότητά της και μπορεί να χρησιμοποιηθεί πάλι.
Χρειάζεται να γίνουν το πολύ οκτώ δοκιμές.
Με μία δοκιμή, ο υπάλληλος μπορεί να βρει αν η μπίλια παραμένει ακέραια πέφτοντας από έναν όροφο.
Με δύο δοκιμές μπορεί να βρει τον υψηλότερο όροφο ενός 4-όροφου κτιρίου (ισόγειο και 3 όροφοι) από τον οποίο μπορεί να πέσει η μπίλια και να παραμείνει ακέραια: Αφήνει μία μπίλια από τον 2ο όροφο. Αν σπάσει, βλέπει τι συμβαίνει αν αφήσει την άλλη μπίλια από τον 1ο όροφο. Αν η πρώτη μπίλια δεν σπάσει πέφτοντας από τον 2ο όροφο, βλέπει τι συμβαίνει αν την αφήσει από τον 3ο όροφο (2 + 1).
Με τρεις δοκιμές το πολύ μπορεί να βρει τον υψηλότερο όροφο ενός 7-όροφου κτιρίου (ισόγειο και 6 όροφοι) από τον οποίο μπορεί να πέσει η μπίλια και να παραμείνει ακέραια: Αφήνει μία μπίλια από τον 3ο όροφο. Αν σπάσει, ελέγχει αν η άλλη μπίλια σπάει πέφτοντας από τον 1ο όροφο και, αν όχι, βλέπει τι συμβαίνει αν την αφήσει από τον 2ο όροφο. Αν η πρώτη μπίλια παραμείνει ακέραια πέφτοντας από τον 3ο όροφο, την αφήνει από τον 5ο (3 + 2). Αν πάλι παραμείνει ακέραια πέφτοντας από τον 5ο όροφο, βλέπει τι συμβαίνει αν την αφήσει από τον 6ο (3 + 2 + 1). Αν, όμως, σπάσει πέφτοντας από τον 5ο όροφο, ελέγχει αν η δεύτερη μπίλια σπάει πέφτοντας από τον 4ο.
Από αυτές τις απλές περιπτώσεις οδηγείται κανείς στο συμπέρασμα ότι ο υπάλληλος με οκτώ δοκιμές το πολύ μπορεί να βρει τον υψηλότερο όροφο ενός κτιρίου με 8 + 7 + 6 + … + 1 = 36 ορόφους από τον οποίο μπορεί να πέσει η μπίλια και να παραμείνει ακέραια.
Πράγματι, αρχικά ο υπάλληλος αφήνει μία μπίλια να πέσει από τον 8ο όροφο. Αν σπάσει, αφήνει την άλλη μπίλια να πέσει διαδοχικά από τους χαμηλότερους ορόφους, ξεκινώντας από τον 1ο όροφο. Άρα, χρειάζονται το πολύ επτά επιπλέον δοκιμές για να βρει τον υψηλότερο όροφο από τον οποίο μπορεί να πέσει χωρίς να σπάσει. Αν η πρώτη μπίλια παραμείνει ακέραια πέφτοντας από τον 8ο όροφο, ο υπάλληλος ανεβαίνει 7 ορόφους, στον 15ο όροφο, και πραγματοποιεί τη δεύτερη δοκιμή. Αν η πρώτη μπίλια σπάσει πέφτοντας από τον 15ο όροφο, τότε αφήνει τη δεύτερη να πέσει διαδοχικά από τους ορόφους που βρίσκονται πάνω από τον 8ο, ξεκινώντας από τον χαμηλότερο. Στην περίπτωση αυτή, χρειάζονται το πολύ έξι επιπλέον δοκιμές για να βρει από ποιους ορόφους μπορεί να πέσει χωρίς να σπάσει. Αν η πρώτη μπίλια παραμείνει ακέραια πέφτοντας από τον 15ο όροφο, ο υπάλληλος ανεβαίνει 6 ορόφους, στον 21ο όροφο, και πραγματοποιεί την τρίτη δοκιμή. Αν πάλι παραμείνει ακέραια, ανεβαίνει 5 ορόφους, στον 26ο. Κάθε φορά που η πρώτη μπίλια παραμένει ακέραια, ανεβαίνει τόσους ορόφους όσες δοκιμές υπολείπονται για να συμπληρωθούν οι οκτώ δοκιμές και αφήνει την μπίλια να πέσει από εκεί. Από τον 26ο όροφο ανεβαίνει στον 30ο (26 + 4), στον 33ο (30 + 3), στον 35ο (33 + 2) και τέλος στον 36ο (35 + 1). Αν, όμως, η πρώτη μπίλια σπάσει πέφτοντας από κάποιον από αυτούς τους ορόφους, τότε αφήνει τη δεύτερη μπίλια να πέσει από κάθε όροφο που βρίσκεται πάνω από τον τελευταίο όροφο που άφησε την πρώτη μπίλια και παρέμεινε ακέραια. Έτσι, θα βρει ποιος είναι ο υψηλότερος όροφος από τον οποίο μπορεί να πέσει η μπίλια χωρίς να σπάσει.
67. Τα 28α γενέθλια
Όλοι έχουμε τα 28α γενέθλιά μας την ίδια μέρα της εβδομάδας με αυτήν που γεννηθήκαμε. Μπορείτε να εξηγήσετε γιατί συμβαίνει αυτό;
Το ημερολόγιο οποιουδήποτε έτους επαναλαμβάνεται ακριβώς το ίδιο έπειτα από 28 έτη. Αν ένα έτος δεν είναι δίσεκτο, το ημερολόγιό του επαναλαμβάνεται και πριν από τα 28 έτη, αλλά το πότε εξαρτάται από το πόσο απέχει από ένα δίσεκτο έτος.
Το έτος έχει 365 μέρες (52 εβδομάδες και 1 μέρα) και το δίσεκτο 366 μέρες (52 εβδομάδες και 2 μέρες). Κάθε έτος, λοιπόν, αρχίζει με την επόμενη μέρα της εβδομάδας από αυτήν που άρχισε το προηγούμενο έτος αν ήταν κανονικό και με τη μεθεπόμενη αν ήταν δίσεκτο.
Ένα έτος είναι δίσεκτο αν διαιρείται με το 4, εκτός αν διαιρείται με το 100. Είναι όμως δίσεκτα αυτά που διαιρούνται με το 400 (το 2000 ήταν δίσεκτο), αλλά όχι τα μελλοντικά έτη που θα διαιρούνται με το 4000.
Συνεπώς, μετά το 1900, υπάρχουν 7 δίσεκτα έτη σε οποιαδήποτε διάστημα 28 ετών. Άρα, σε αυτό το διάστημα, εκτός από τις 52 εβδομάδες του κάθε έτους, υπάρχουν επιπλέον 21 μέρες από τα κανονικά έτη (3 εβδομάδες) και 14 μέρες από τα δίσεκτα (2 εβδομάδες), δηλαδή υπάρχει ακέραιος αριθμός εβδομάδων. Έτσι, το ημερολόγιο οποιουδήποτε έτους έπειτα από 28 έτη επαναλαμβάνεται. Επομένως, όλοι γιορτάζουμε τα γενέθλιά μας την ίδια μέρα της εβδομάδας με αυτήν που γεννηθήκαμε αν είμαστε 28 ετών ή η ηλικία μας είναι πολλαπλάσια των 28 ετών.
Η πρωτοχρονιά κάθε έτους μπορεί να είναι μια οποιαδήποτε μέρα της εβδομάδας. Επομένως, υπάρχουν επτά διαφορετικοί ημερολογιακοί πίνακες των κανονικών ετών και επτά των δίσεκτων ετών, όσες είναι και οι διαφορετικές ημέρες έναρξής τους.
Το ημερολόγιο ενός δίσεκτου έτους επαναλαμβάνεται ακριβώς το ίδιο έπειτα από 28 έτη.
Το ημερολόγιο ενός κανονικού έτους επαναλαμβάνεται τρεις φορές μέσα σε 28 έτη:
Αν είναι το επόμενο από ένα δίσεκτο, το ημερολόγιο του επαναλαμβάνεται έπειτα από 6, 17, 28 έτη και μετά πάλι έπειτα από 6, 17, 28 έτη κ.ο.κ. (γιατί μετά τα 28 έτη θα είναι πάλι το επόμενο από ένα δίσεκτο).
Αν είναι το μεθεπόμενο από ένα δίσεκτο, το ημερολόγιο του επαναλαμβάνεται μετά από 11, 17, 28 έτη και μετά πάλι έπειτα από 11, 17, 28 έτη κ.ο.κ.
Αν είναι το προηγούμενο από ένα δίσεκτο, το ημερολόγιο του επαναλαμβάνεται μετά από 11, 22, 28 έτη και μετά πάλι έπειτα από 11, 22, 28 έτη κ.ο.κ.
68. Η διαφυγή
Βρίσκεστε στο κέντρο μιας κυκλικής λίμνης, που περιβάλλεται από έναν χαμηλό συρμάτινο φράκτη σε ελάχιστη απόσταση από το νερό. Στον ίδιο χώρο υπάρχει μια τίγρης, η οποία δεν μπαίνει ποτέ μέσα στη λίμνη, δεν βγαίνει ποτέ έξω από τον φράκτη και μπορεί να τρέξει με τετραπλάσια ταχύτητα από αυτή με την οποία μπορείτε εσείς να κολυμπήσετε. Υπάρχει κάποιος τρόπος να βγείτε έξω από τον φράκτη, χωρίς να κινδυνέψετε από την τίγρη;
Αν από το κέντρο κολυμπήσετε προς την αντίθετη κατεύθυνση από αυτήν που βρίσκεται η τίγρης, αυτή θα βρεθεί πριν από σας στο σημείο του φράκτη προς το οποίο πηγαίνετε. Πράγματι, εσείς έχετε να διανύσετε την ακτίνα R του κύκλου, ενώ η τίγρης έχει να διανύσει μισό κύκλο, δηλαδή μια απόσταση ίση με πR, με τετραπλάσια ταχύτητα από αυτήν που κινείστε εσείς. Αν η ταχύτητα με την οποία κινείστε είναι v, θα φτάσετε στον φράκτη σε χρόνο R/v και η τίγρης θα φτάσει σε χρόνο πR/4v, δηλαδή πριν από σας.
Επομένως, για να φτάσετε στον φράκτη σε μικρότερο χρόνο από την τίγρη, δεν πρέπει να είστε στο κέντρο της λίμνης, αλλά κάπως πιο κοντά στον φράκτη και η τίγρης να βρίσκεται στην αντίθετη μεριά από εσάς σε σχέση με το κέντρο. Έστω ότι πρέπει να βρίσκεστε σε απόσταση x από το κέντρο της λίμνης, για να φτάσετε στον φράκτη πριν από την τίγρη. Εσείς θα φτάσετε στον φράκτη σε χρόνο (R – x)/v και η τίγρης θα φτάσει σε χρόνο πR/4v.
Άρα, (R – x)/v < πR/4v ή R – x < πR/4 ή x > (1 – π/4)R ή x μεγαλύτερο από 0,215 R.
Επιπλέον, πρέπει να βρίσκεστε σε απόσταση x από το κέντρο μικρότερη από το 1/4 της ακτίνας του κύκλου. Τότε, αν κολυμπήσετε γύρω από το κέντρο, η τίγρης δεν θα μπορέσει να παρακολουθήσει την κίνησή σας και σύντομα θα βρεθείτε στην αντίθετη μεριά από αυτήν σε σχέση με το κέντρο.
Συνεπώς, πρέπει να απομακρυνθείτε από το κέντρο της λίμνης σε απόσταση μεγαλύτερη από 0,215 R και μικρότερη από 0,25 R. Μετά, πρέπει να κινηθείτε γύρω από το κέντρο κρατώντας σταθερή αυτή την απόσταση, έως ότου να βρεθείτε στην αντίθετη μεριά από την τίγρη σε σχέση με το κέντρο. Τέλος, θα κινηθείτε προς την αντίθετη κατεύθυνση από αυτήν που βρίσκεται η τίγρης και θα προλάβετε να πηδήξετε τον φράκτη πριν αυτή φτάσει εκεί.
69. Οι καρύδες
Τρεις ναύτες και ένας πίθηκος επιζούν ενός ναυαγίου και κολυμπώντας φτάνουν σε ένα έρημο νησί. Την πρώτη μέρα μαζεύουν καρύδες και τις τοποθετούν όλες μαζί σε έναν σωρό κάτω από έναν φοίνικα. Εξαντλημένοι, όπως είναι, αποφασίζουν να μοιράσουν τις καρύδες το επόμενο πρωί και πέφτουν για να κοιμηθούν.
Αργότερα, ένας από τους ναύτες ξυπνάει. Συνειδητοποιεί ότι δεν μπορεί να εμπιστεύεται τους άλλους και αποφασίζει να πάρει το μερίδιό του αμέσως. Μοιράζει λοιπόν τις καρύδες σε 3 ίσα μέρη, αλλά περισσεύει 1 καρύδα. Δίνει την καρύδα στον πίθηκο, παίρνει το μερίδιό του, τοποθετεί τις υπόλοιπες καρύδες πάλι όλες μαζί σε έναν σωρό και πηγαίνει να συνεχίσει τον ύπνο του.
Μετά, ένας άλλος ναύτης ξυπνάει. Δεν καταλαβαίνει ότι κάποιος ήδη έχει πάρει το μερίδιό του και μοιράζει τις καρύδες επίσης σε 3 ίσα μέρη. Πάλι περισσεύει 1 καρύδα, την οποία δίνει στον πίθηκο, παίρνει το μερίδιό του τοποθετεί τις υπόλοιπες καρύδες σε έναν σωρό και πέφτει για να κοιμηθεί.
Στη συνέχεια, ο τρίτος ξυπνάει και κάνει ακριβώς τα ίδια πράγματα. Μοιράζει τις καρύδες σε 3 ίσα μέρη, 1 καρύδα περισσεύει και την δίνει στον πίθηκο, παίρνει το μερίδιό του, τοποθετεί τις υπόλοιπες καρύδες σε έναν σωρό και πηγαίνει να κοιμηθεί.
Το πρωί οι τρεις ναύτες ξυπνούν και προσπαθούν να φανούν αθώοι. Δεν λένε ότι έχουν ήδη πάρει το μερίδιό τους, ούτε κάνουν κανένα σχόλιο για τις καρύδες που είναι λιγότερες. Αντίθετα, μοιράζουν τον σωρό σε 3 ίσα μέρη για τέταρτη φορά και βρίσκουν πάλι ότι 1 καρύδα περισσεύει, την οποία δίνουν στον πίθηκο.
Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός από καρύδες που θα μπορούσαν να υπάρχουν στον αρχικό σωρό;
Υποθέστε ότι ο πρώτος ναύτης βρίσκει άλλες 2 καρύδες και τις προσθέτει στον σωρό. Τώρα, μπορεί να μοιράσει τις καρύδες σε 3 ίσα μέρη, χωρίς να περισσέψει καμία καρύδα για τον πίθηκο. Σε καθένα από τα 3 μέρη υπάρχει μία καρύδα επιπλέον και, επομένως, στα 2 μέρη που αφήνει υπάρχουν 2 καρύδες επιπλέον. Συνεπώς, και ο δεύτερος ναύτης μπορεί να μοιράσει τις καρύδες ακριβώς σε 3 ίσα μέρη και στα 2 μέρη που αφήνει υπάρχουν επίσης 2 καρύδες επιπλέον. Το ίδιο συμβαίνει και με τον τρίτο ναύτη. Έτσι, και στον τελικό σωρό υπάρχουν 2 επιπλέον καρύδες και μπορούν επίσης να τον μοιράσουν σε 3 ίσα μέρη.
Έστω Ν το αρχικό πλήθος των καρυδών. Ο πρώτος προσθέτει 2 καρύδες και ο κάθε ναύτης παίρνει το 1/3 και αφήνει τα 2/3 του σωρού που βρίσκει. Οι καρύδες που παίρνει ο καθένας από τους τρεις ναύτες στο τέταρτο και τελικό μοίρασμα είναι:
(1/3)(2/3)(2/3)(2/3)(Ν + 2) ή 2³(Ν + 2)/3⁴
Επειδή ο καθένας παίρνει ακέραιο αριθμό καρυδών, το Ν + 2 είναι πολλαπλάσιο του 3⁴. Επομένως, η μικρότερη τιμή του Ν + 2 είναι 3⁴ και ο μικρότερος αριθμός από καρύδες που θα μπορούσε να υπάρχει στον αρχικό σωρό είναι Ν = 3⁴ − 2 = 81 − 2 = 79 καρύδες.
70. Η αβγοθήκη (ΙΙ)
Το διπλανό σχήμα παριστάνει μια τετράγωνη αβγοθήκη που χωράει 6 × 6 = 36 αβγά. Πόσα αβγά μπορούν να τοποθετηθούν σε μια τέτοια αβγοθήκη και σε ποιες θέσεις, αν δεν πρέπει να είναι παραπάνω από δύο σε οποιαδήποτε ευθεία γραμμή —οριζόντια, κάθετη ή πλάγια;
Είναι δυνατόν να τοποθετηθούν δώδεκα αβγά με έντεκα διαφορετικούς τρόπους, αν δεν ληφθούν υπόψη οι λύσεις που προκύπτουν από ανάκλαση ή περιστροφή αυτών των έντεκα βασικών διατάξεων.
71. Μετασχηματισμός σταυρού σε τρίγωνο
Ο σταυρός πού βλέπετε εδώ αποτελείται από πέντε ίσα τετράγωνα. Χωρίστε αυτόν τον σταυρό με ευθείες γραμμές σε τέσσερα τμήματα τα οποία, αν τα συνδυάσετε κατάλληλα, να σχηματίσουν ένα ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο.
Έστω α το μήκος της πλευράς των πέντε ίσων τετραγώνων του σταυρού και β το μήκος των καθέτων πλευρών του ορθογώνιου ισοσκελούς τριγώνου που σχηματίζεται από τα τμήματα του σταυρού. Το εμβαδόν του ορθογώνιου ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσο με το εμβαδόν του σταυρού, άρα β
/2 = 5α
και β
= 10α
.
Όμως 10α
= (3α)
+ α
, άρα β
= (3α)
+ α
. Επομένως, σύμφωνα με το πυθαγόρειο θεώρημα, οι κάθετες πλευρές του ορθογώνιου ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες με την υποτείνουσα ορθογώνιου τριγώνου που έχει κάθετες πλευρές με μήκη α και 3α.
Σχεδιάστε, λοιπόν, ένα τέτοιο ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο πάνω στον σταυρό, όπως φαίνεται στο πρώτο σχήμα. Έπειτα, συμπληρώστε το εσωτερικό του με τα τμήματα του σταυρού που είναι έξω από αυτό, όπως φαίνεται στο δεύτερο σχήμα. Για να γίνει αυτό, χρειάζεται να φέρετε μία επιπλέον ευθεία και να χωρίσετε ένα από τα τμήματα του σταυρού σε δύο.
72. Το δηλητηριασμένο κρασί (ΙΙ)
Ένας κατάσκοπος, τον παλιό καιρό, μπήκε στο κελάρι ενός παλατιού, όπου βρίσκονταν 100 βαρέλια γεμάτα με κρασί, και δηλητηρίασε το κρασί που περιείχε το ένα από αυτά. Η κατάποση ακόμη και της παραμικρής ποσότητας από το δηλητηριασμένο κρασί μπορούσε να επιφέρει τον θάνατο. Τα πρώτα συμπτώματα ήταν έντονη αδιαθεσία και υψηλός πυρετός και εμφανίζονταν έπειτα από διάστημα μερικών ημερών από την εισαγωγή του δηλητηρίου στον οργανισμό. Ευτυχώς, σε αυτό το βασίλειο διέθεταν το αντίδοτο για το συγκεκριμένο δηλητήριο και το χορηγούσαν αμέσως σε όποιον εμφάνιζε τα συμπτώματα, συνεπώς κανείς δεν επρόκειτο να πεθάνει αν έπινε κάποια ποσότητα από το δηλητηριασμένο κρασί. Όταν ο βασιλιάς ενημερώθηκε για την πράξη του κατασκόπου, διέταξε τον δεσμοφύλακα να χρησιμοποιήσει εθελοντές φυλακισμένους για να βρει σε ποιο από τα 100 βαρέλια το κρασί ήταν δηλητηριασμένο. Ποιος ήταν ο ελάχιστος αριθμός φυλακισμένων που έπρεπε να χρησιμοποιήσει ο δεσμοφύλακας για να προσδιορίσει το συντομότερο δυνατόν το βαρέλι με το δηλητηριασμένο κρασί;
Έπρεπε να πιεί κρασί από το κάθε βαρέλι διαφορετικός συνδυασμός φυλακισμένων. Για να γίνει αυτό, αρκούσαν επτά εθελοντές φυλακισμένοι.
Αρχικά, ο δεσμοφύλακας έπρεπε να αριθμήσει τα βαρέλια και να παραστήσει στο δυαδικό σύστημα τον αριθμό κάθε βαρελιού. Επειδή υπήρχαν 100 βαρέλια, οι αριθμοί των βαρελιών στο δυαδικό σύστημα θα είχαν έως και επτά ψηφία. Μετά, έπρεπε να αριθμήσει επτά φιάλες, με τους αριθμούς από το 1 έως και το 7.
Στη συνέχεια, έπρεπε να βάλει κρασί από το κάθε βαρέλι σε εκείνες μόνο τις φιάλες που αντιστοιχούσαν στις θέσεις του ψηφίου 1 στη δυαδική παράσταση του αριθμού του.
Για παράδειγμα, η δυαδική παράσταση του 41 είναι 101001. Άρα, ο δεσμοφύλακας έπρεπε να βάλει κρασί από το 41ο βαρέλι στις φιάλες με τους αριθμούς 1, 4 και 6 αντίστοιχα.
Στο τέλος, ο δεσμοφύλακας έπρεπε να αντιστοιχίσει επτά εθελοντές φυλακισμένους με τους αριθμούς από το 1 έως το 7 και να τους δώσει να πιουν κρασί από την αντίστοιχη φιάλη. O δεσμοφύλακας θα μπορούσε να συμπεράνει ποιο βαρέλι είχε το δηλητηριασμένο κρασί από το ποιοι φυλακισμένοι θα αρρώσταιναν με υψηλό πυρετό. Για παράδειγμα, αν αρρώσταιναν οι φυλακισμένοι που είχαν τους αριθμούς 1, 4, και 6, θα είχε δηλητηριαστεί το κρασί του 41ου βαρελιού.
73. Οι χρωματιστοί σκούφοι (ΙΙ)
Μια φυλακή έχει γεμίσει από κρατούμενους και ο διευθυντής της αποφασίζει να δώσει σε δέκα κρατούμενους την ευκαιρία να αποφυλακιστούν. Συγκεντρώνει, λοιπόν, τους δέκα κρατούμενους και τους λέει ότι θα περάσουν από την εξής δοκιμασία: Οι φύλακες θα τους βάλουν τον έναν πίσω από τον άλλον κατά σειρά αυξανόμενου ύψους, θα τους δέσουν τα μάτια και θα φορέσουν στον καθένα είτε έναν κόκκινο, είτε έναν πράσινο, είτε έναν μπλε σκούφο. Μετά, οι κρατούμενοι θα λύσουν τα μάτια τους και ο ένας μετά τον άλλον, αρχίζοντας από τον τελευταίο, πρέπει να πουν το χρώμα του σκούφου τους —κόκκινο ή πράσινο ή μπλε— και μόνο αυτό, δυνατά για να το ακούσουν όλοι. Ο τελευταίος κρατούμενος του στοίχου, που θα μιλήσει πρώτος, δεν είναι απαραίτητο να το πει σωστά. Δεν θα επιτρέπεται, βεβαίως, όσο θα βρίσκονται στη σειρά, να βγάλουν τον σκούφο τους και να τον δουν, να κοιτάξουν πίσω τους, να μιλάνε μεταξύ τους ή να κάνουν νοήματα, μπορούν όμως πριν από τη δοκιμασία να ανταλλάξουν ιδέες και να αποφασίσουν την τακτική που θα ακολουθήσουν.
Υπάρχει κάποιος τρόπος για να πουν οι κρατούμενοι σωστά το χρώμα του σκούφου τους και να αποφυλακιστούν;
Δεν υπάρχει τρόπος για τον τελευταίο κρατούμενο της σειράς να ξέρει το χρώμα του σκούφου του. Επομένως, η πιθανότητα να το πει σωστά είναι 1/3. Όλοι οι άλλοι κρατούμενοι μπορούν με βεβαιότητα να το πουν σωστά.
Οι κρατούμενοι μπορούν να αποφασίσουν το εξής: Κατ’ αρχάς, να αντιστοιχίσουν τα χρώματα των σκούφων με αριθμούς μικρότερους του 3 : το κόκκινο με το 0, το πράσινο με το 1 και το μπλε με το 2.
Αν ο τελευταίος του στοίχου μπορούσε να τους πει το άθροισμα των αριθμών που αντιστοιχούσαν στους 9 σκούφους που έβλεπε μπροστά του, τότε οι υπόλοιποι θα μπορούσαν να βρουν το χρώμα του σκούφου που φορούσαν. Όμως, ο τελευταίος το μόνο που μπορεί να πει είναι ένα από τα τρία χρώματα.
Ο τελευταίος στη σειρά, λοιπόν, θα αθροίσει τους αντίστοιχους αριθμούς των 9 σκούφων που βλέπει μπροστά του. Έπειτα, θα υπολογίσει το υπόλοιπο υ της διαίρεσης αυτού του αθροίσματος με το 3 και θα πει το χρώμα που αντιστοιχεί σε αυτό.
Έστω α1 ο αντίστοιχος αριθμός του χρώματος που έχει ο σκούφος του πρώτου στη σειρά κρατούμενου, α2 ο αντίστοιχος αριθμός του χρώματος που έχει ο σκούφος του δεύτερου κ.ο.κ.
Τότε, ισχύουν τα εξής:
α1 + α2 + α3 + α4 + α5 + α6 + α7 + α8 + α9 = 3π + υ
α1 + α2 + α3 + α4 + α5 + α6 + α7 + α8 – υ + α9 = 3π
Ν + α9 = 3π
α9 = 3π – Ν
Ο προτελευταίος κρατούμενος, λοιπόν, υπολογίζει το άθροισμα των αριθμών που αντιστοιχούν στα χρώματα των 8 σκούφων που βλέπει, αφαιρεί το υπόλοιπο υ και βρίσκει έναν αριθμό Ν. Αν το Ν είναι πολλαπλάσιο του 3, ο αντίστοιχος με τον σκούφο του αριθμός α9 είναι 0 και ο σκούφος του είναι κόκκινος. Σε διαφορετική περίπτωση, για να βρει τον α9 και, επομένως, το χρώμα του σκούφου του, αφαιρεί τον αριθμό Ν από το μικρότερο πολλαπλάσιο του 3 που είναι μεγαλύτερο του Ν.
Ο καθένας από τους επόμενους κάνει το ίδιο. Αθροίζει, όμως, όχι μόνο τους αντίστοιχους αριθμούς των σκούφων που βλέπει μπροστά του, αλλά και τους αντίστοιχους αριθμούς των σκούφων που άκουσε ότι φορούν οι προηγούμενοι, εκτός από τον τελευταίο.
Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι οι φυλακισμένοι έχουν τη διάταξη π, κ, κ, π, κ, μ, π, κ, μ, κ, όπου κ φυλακισμένος με κόκκινο σκούφο, π φυλακισμένος με πράσινο σκούφο και μ φυλακισμένος με μπλε σκούφο.
Ο τελευταίος αθροίζει τους αντίστοιχους αριθμούς των 9 σκούφων που βλέπει μπροστά του και βρίσκει 7. Το υπόλοιπο της διαίρεσης με το 3 είναι 1, και επομένως λέει «πράσινο». Δυστυχώς, όμως, φοράει κόκκινο.
Ο προτελευταίος αθροίζει τους αντίστοιχους αριθμούς των 8 σκούφων που βλέπει μπροστά του και βρίσκει 5. Μετά, αφαιρεί το 1, που αντιστοιχεί στο πράσινο χρώμα που ο τελευταίος είπε ότι είναι ο σκούφος του, και βρίσκει 4. Τέλος, αφαιρεί το 4 από το μικρότερο πολλαπλάσιο του 3 που είναι μεγαλύτερο του 4, δηλαδή από το 6, και βρίσκει 2. Έτσι, συμπεραίνει ότι φοράει μπλε σκούφο.
Ο 8ος του στοίχου αθροίζει τους αντίστοιχους αριθμούς των 7 σκούφων που βλέπει μπροστά του και τον αντίστοιχο αριθμό του μπλε, που ο προτελευταίος είπε ότι είναι ο σκούφος του, και βρίσκει 7. Μετά, αφαιρεί το 1, που αντιστοιχεί στο πράσινο χρώμα που είπε ο τελευταίος, και βρίσκει 6. Το 6 είναι πολλαπλάσιο του 3 και, επομένως, ο αντίστοιχος αριθμός του σκούφου του είναι 0 και ο σκούφος του είναι κόκκινος.
Συνεχίζοντας με αυτόν τον τρόπο όλοι βρίσκουν το χρώμα του σκούφου τους.
Last updated