121 - 140
121. Γύρω γύρω όλα και με τη σειρά
Σχεδιάστε έναν πίνακα 3 × 3 σε ένα φύλλο χαρτί. Μετά, κόψτε οκτώ όμοια τετράγωνα από το χαρτί, γράψτε σε αυτά από ένα διαφορετικό γράμμα του αλφαβήτου από το Α έως το Θ και τοποθετήστε τα μέσα στα κελιά όπως φαίνεται στο σχήμα. Ξεκινώντας από αυτή τη διάταξη των τετραγώνων και μετακινώντας τα ένα ένα οριζοντίως ή καθέτως, από το κελί τους σε διπλανό κελί που είναι άδειο, προσπαθήστε να τα διατάξετε με αλφαβητική σειρά, πάλι περιμετρικά. Μπορείτε με μόνο δεκαέξι κινήσεις;
Μετακινήστε τα τετράγωνα με την εξής σειρά: Ζ, Γ, Η, Ζ, Α, Β, Δ, Α, Γ, Θ, Α, Γ, Β, Δ, Γ και τέλος το Β.
Μια παραλλαγή αυτής της λύσης είναι να μετακινήσετε τα τετράγωνα με την εξής σειρά: Α, Β, Δ, Α, Ζ, Γ, Η, Ζ, Γ, Θ, Α, Γ, Β, Δ, Γ και τέλος το Β.
122. Η πλακόστρωση (I)
Είναι δυνατόν να πλακοστρωθεί μια επιφάνεια διαστάσεων 10 × 10 με πλακάκια εμβαδού 4 τετραγωνικών μονάδων (τετρόμηνα), ίδια με αυτό που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα;
Είναι αδύνατον να πλακοστρωθεί όλη η επιφάνεια με τέτοια πλακάκια. Υπάρχει μια απλή απόδειξη για αυτό: Χρωματίστε τα τετράγωνα της επιφάνειας με άσπρο και μαύρο χρώμα εναλλάξ, όπως σε μια σκακιέρα. Κάθε τετρόμηνο, όπως και να τοποθετηθεί, θα καλύψει είτε τρία άσπρα τετράγωνα και ένα μαύρο είτε τρία μαύρα τετράγωνα και ένα άσπρο. Επειδή στην επιφάνεια αυτή τα άσπρα τετράγωνα είναι όσα και τα μαύρα, για κάθε τετρόμηνο που θα καλύψει τρία άσπρα τετράγωνα και ένα μαύρο πρέπει να υπάρχει και ένα τετρόμηνο που θα καλύψει τρία μαύρα τετράγωνα και ένα άσπρο. Άρα, χρειάζεται ζυγός αριθμός τετρόμηνων. Όμως, η επιφάνεια έχει έκταση 25 τετρόμηνων και, επομένως, δεν καλύπτεται με ζυγό αριθμό τετρόμηνων.
123. H εξαφάνιση
Σχεδιάστε μερικές γραμμές πάνω σε ένα χαρτί σε ίσες αποστάσεις, για παράδειγμα, οκτώ, όπως φαίνεται στο πρώτο από τα δύο παρακάτω σχήματα, και κόψτε κατά μήκος της διακεκομμένης γραμμής. Έπειτα, μετακινήστε το πάνω τμήμα του χαρτιού όπως φαίνεται στο δεύτερο σχήμα και μετρήστε τις γραμμές. Είναι κατά μία λιγότερες. Δεν λείπει βεβαίως κάποια συγκεκριμένη γραμμή. Αυτό που συμβαίνει είναι ότι οι δύο ολόκληρες γραμμές και τα δώδεκα τμήματα γραμμών συνδυάζονται ανά δύο και σχηματίζουν επτά νέες γραμμές. Αφού δεν έχετε αφαιρέσει καμία γραμμή ή κάποιο τμήμα γραμμής, το συνολικό μήκος τους δεν έχει αλλάξει. Για αυτό οι νέες γραμμές είναι λίγο μεγαλύτερες από τις αρχικές.
Μια κυκλική παραλλαγή του παραπάνω τρόπου εξαφάνισης μιας γραμμής είναι η εξής: Σχεδιάστε έναν κύκλο και μερικές γραμμές όπως φαίνεται στο πρώτο από τα παρακάτω σχήματα. Μετά, κόψτε κατά μήκος της κυκλικής γραμμής και περιστρέψτε τον κυκλικό δίσκο δεξιόστροφα, ώστε κάθε γραμμή στο εσωτερικό του κύκλου να έρθει στη θέση της επόμενης, όπως φαίνεται στο δεύτερο σχήμα. Το αποτέλεσμα είναι πάλι η εξαφάνιση μιας γραμμής.
Ένας άλλος, πιο εντυπωσιακός τρόπος, είναι ο εξής:
Σχεδιάστε οκτώ γραμμές σε ένα ορθογώνιο κομμάτι χαρτιού, σε ίσες αποστάσεις μεταξύ τους και με τον τρόπο που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Παρατηρήστε ότι α) η οριζόντια διακεκομμένη γραμμή περνάει από το κάτω άκρο της 4ης γραμμής και από το πάνω άκρο της 7ης γραμμής, ενώ τέμνει όλες τις υπόλοιπες γραμμές, β) η διακεκομμένη κάθετη γραμμή βρίσκεται στο μέσον της απόστασης μεταξύ τρίτης και τέταρτης γραμμής και γ) η πρώτη και η τελευταία γραμμή απέχουν από τα άκρα του χαρτιού το μισό της απόστασης μεταξύ δύο γραμμών.
Κόψτε κατά μήκος της οριζόντιας και της κάθετης διακεκομμένης γραμμής και τοποθετήστε τα τρία ορθογώνια τμήματα όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Τώρα, μετρήστε τις γραμμές. Είναι πάλι κατά μία λιγότερες. Μπορείτε να εξηγήσετε τι συμβαίνει;
Η διακεκομμένη γραμμή χωρίζει όλες τις γραμμές σε δύο τμήματα, εκτός από την 4η και την 7η. Υπάρχουν συνολικά δώδεκα τμήματα γραμμών και δύο ολόκληρες γραμμές. Έστω 1Α το πάνω τμήμα της 1ης γραμμής και 1Β το κάτω τμήμα της, 2Α το πάνω τμήμα της 2ης γραμμής και 2Β το κάτω τμήμα της κ.ο.κ. Μετά την αναδιάταξη των τμημάτων του ορθογώνιου χαρτιού, τα δώδεκα τμήματα γραμμών και οι δύο ολόκληρες γραμμές συνδυάζονται ανά δύο και σχηματίζουν επτά νέες γραμμές. Το 1Α συνδυάζεται με το 6Β, το 2Α με την 7η γραμμή, το 3Α με το 8Β, η 4η γραμμή με το 1Β, το 5Α με το 2Β, το 6Α με το 3Β και το 8Α με το 5Β.
Αφού δεν λείπει καμία γραμμή ή κάποιο τμήμα γραμμής, το συνολικό μήκος τους δεν έχει αλλάξει. Για αυτό, οι νέες γραμμές είναι λίγο μεγαλύτερες από τις αρχικές.
124. Ειλικρινείς και ψεύτες (V)
Ο κάθε κάτοικος ενός νησιού είναι είτε ειλικρινής είτε ψεύτης. Οι ειλικρινείς κάτοικοι λένε πάντα την αλήθεια και οι ψεύτες λένε πάντα ψέματα. Ένας ξένος ρώτησε δύο κατοίκους του νησιού —τον Α και τον Β— αν είναι ψεύτες και πήρε τις εξής απαντήσεις:
Ο Α είπε: «Ο Β είναι ψεύτης».
Ο Β είπε: «Είμαστε και οι δύο ειλικρινείς».
Τι είναι ο καθένας, ειλικρινής ή ψεύτης;
Ο Α είναι ειλικρινής και ο Β είναι ψεύτης.
Υποθέστε ότι ο Α είναι ψεύτης. Τότε, αυτό που είπε για τον Β είναι ψέμα και, επομένως, ο Β είναι ειλικρινής. Ο ισχυρισμός του Β, όμως, αντιφάσκει με την υπόθεση ότι ο Α είναι ψεύτης. Άρα, ο Α δεν είναι ψεύτης, είναι ειλικρινής. Συνεπώς, αυτό που είπε για τον Β είναι αλήθεια και ο Β είναι ψεύτης.
125. Τα κουνέλια του Φιμπονάτσι
Ένα ενήλικο ζευγάρι κουνελιών —ένα αρσενικό κουνέλι και ένα θηλυκό— αφήνεται μέσα σε έναν περιφραγμένο χώρο. Υποθέστε ότι τα θηλυκά κουνέλια γεννούν ένα ζευγάρι κουνελιών —ένα αρσενικό κουνέλι και ένα θηλυκό— δύο μήνες μετά τη γέννησή τους και συνεχίζουν να γεννούν ένα τέτοιο ζευγάρι κουνελιών στο τέλος κάθε επόμενου μήνα. Αν κανένα από τα κουνέλια δεν πεθάνει, πόσα ζευγάρια κουνελιών θα υπάρχουν σε ένα έτος; Θεωρήστε ότι το πρώτο νέο ζευγάρι κουνελιών γεννιέται στο τέλος του πρώτου μήνα έπειτα από την τοποθέτηση του ενήλικου ζευγαριού μέσα στον περιφραγμένο χώρο.
Αυτό το πρόβλημα, που αφορά την αναπαραγωγή των κουνελιών, το έθεσε ο Ιταλός μαθηματικός Λεονάρντο της Πίζας (1170-1240), γνωστός ως Φιμπονάτσι, και υπάρχει στο βιβλίο του «Liber Abaci», που εκδόθηκε το 1202.
Στην αρχή, υπάρχει ένα αρσενικό και ένα θηλυκό κουνέλι.
Στο τέλος του πρώτου μήνα, το θηλυκό κουνέλι γεννάει ένα νέο ζευγάρι, άρα υπάρχουν δύο ζευγάρια κουνελιών.
Στο τέλος του δεύτερου μήνα, το πρώτο θηλυκό κουνέλι γεννάει ακόμη ένα ζευγάρι, άρα υπάρχουν τρία ζευγάρια κουνελιών.
Στο τέλος του τρίτου μήνα, το πρώτο θηλυκό κουνέλι γεννάει το τρίτο της ζευγάρι και το θηλυκό κουνέλι που γεννήθηκε πριν από δύο μήνες γεννάει το πρώτο της ζευγάρι, άρα τώρα υπάρχουν πέντε ζευγάρια κουνελιών κ.ο.κ.
Στο τέλος κάθε μήνα, ο αριθμός των ζευγαριών είναι ίσος με το άθροισμα των ζευγαριών που υπήρχαν στο τέλος του προηγούμενου μήνα, καθώς και των ζευγαριών που γεννιούνται. Το πλήθος των ζευγαριών που γεννιούνται, όμως, είναι ίσο με το πλήθος των θηλυκών κουνελιών που υπήρχαν πριν από δύο μήνες (ενήλικων και νεογέννητων). Έτσι, στο τέλος κάθε μήνα, το πλήθος των ζευγαριών είναι ίσο με το άθροισμα των ζευγαριών που υπήρχαν στο τέλος του προηγούμενου μήνα και των ζευγαριών που υπήρχαν στο τέλος του προπροηγούμενου μήνα.
Άρα, το πλήθος των ζευγαριών αυξάνεται από μήνα σε μήνα ως εξής:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377...
Επομένως, θα υπάρχουν 377 ζευγάρια κουνελιών σε ένα έτος.
Η ακολουθία 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377..., της οποίας ο κάθε όρος ισούται με το άθροισμα των δύο προηγούμενων όρων, ονομάζεται ακολουθία Φιμπονάτσι.
126. Ο χρωματιστός κύβος (ΙΙ)
Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορείτε να βάψετε έναν κύβο αν έχετε στη διάθεσή σας έξι διαφορετικά χρώματα και χρησιμοποιήσετε ένα διαφορετικό χρώμα για την κάθε έδρα του;
Υποθέστε ότι βάφετε την μπροστινή έδρα του κύβου με ένα από τα έξι χρώματα και επιλέγετε ένα από τα άλλα πέντε χρώματα για την πίσω έδρα. Έστω α, β, γ και δ τα υπόλοιπα τέσσερα χρώματα με τα οποία θα βάψετε την πάνω, τη δεξιά, την κάτω και την αριστερή έδρα. Αυτά μπορούν να διαταχθούν με έξι διαφορετικούς τρόπους: α, β, γ, δ· α, β, δ, γ· α, γ, β, δ· α, γ, δ, β· α, δ, β, γ· και α, δ, γ, β. Για καθεμία, λοιπόν, από τις πέντε επιλογές που έχετε για την πίσω έδρα, υπάρχουν έξι διαφορετικές διατάξεις των υπόλοιπων τεσσάρων χρωμάτων. Επομένως, μπορείτε να βάψετε τον κύβο με 5 · 6 = 30 διαφορετικούς τρόπους.
127. Η σκακιέρα (ΙΙ)
Χωρίστε το παρακάτω σχήμα, με τα ανοιχτόχρωμα και σκουρόχρωμα τετραγωνάκια, σε δύο τμήματα τα οποία, αν τα συνδυάσετε κατάλληλα, να σχηματίσουν μια τέλεια σκακιέρα.
Χωρίστε αυτή την ακανόνιστη σκακιέρα όπως φαίνεται στο πρώτο σχήμα και συνδυάστε τα δύο τμήματα όπως φαίνεται στο δεύτερο σχήμα.
128. Η χρωματιστή πυραμίδα
Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορείτε να βάψετε ένα κανονικό τετράεδρο, αν κάθε έδρα του τη βάψετε ολόκληρη με ένα χρώμα και έχετε στη διάθεσή σας α) δύο χρώματα, β) τρία χρώματα και γ) τέσσερα χρώματα;
α) Αν έχετε δύο χρώματα, μπορείτε να βάψετε το κανονικό τετράεδρο με πέντε διαφορετικούς τρόπους:
Όλες τις έδρες με το ίδιο χρώμα (δύο τρόποι).
Τρεις έδρες με ένα χρώμα και την τέταρτη με το άλλο (δύο τρόποι).
Δύο έδρες με ένα χρώμα και τις άλλες δύο με το άλλο (ένας τρόπος).
β) Αν έχετε τρία χρώματα, μπορείτε να βάψετε το κανονικό τετράεδρο με δεκαπέντε διαφορετικούς τρόπους:
Όλες τις έδρες με το ίδιο χρώμα (τρεις τρόποι).
Τρεις έδρες με ένα χρώμα και την τέταρτη με ένα άλλο. Για κάθε χρώμα με το οποίο θα βάψετε τις τρεις έδρες υπάρχουν δύο επιλογές για την τέταρτη έδρα (έξι τρόποι).
Δύο έδρες με ένα χρώμα και τις άλλες δύο με ένα άλλο. Υπάρχουν τρεις διαφορετικοί συνδυασμοί των τριών χρωμάτων ανά δύο (τρεις τρόποι).
Δύο έδρες με ένα χρώμα και τις άλλες δύο με τα άλλα δύο (τρεις τρόποι).
γ) Αν έχετε τέσσερα χρώματα, μπορείτε να βάψετε το κανονικό τετράεδρο με τριάντα έξι διαφορετικούς τρόπους:
Όλες τις έδρες με το ίδιο χρώμα (τέσσερις τρόποι).
Τρεις έδρες με ένα χρώμα και την τέταρτη με ένα άλλο. Για κάθε χρώμα με το οποίο θα βάψετε τις τρεις έδρες υπάρχουν τρεις επιλογές για την τέταρτη έδρα (δώδεκα τρόποι).
Δύο έδρες με ένα χρώμα και τις άλλες δύο με ένα άλλο. Υπάρχουν έξι διαφορετικοί συνδυασμοί των τεσσάρων χρωμάτων ανά δύο (έξι τρόποι).
Δύο έδρες με ένα χρώμα και τις άλλες δύο με δύο άλλα. Για κάθε χρώμα με το οποίο θα βάψετε τις δύο έδρες έχετε τρεις διαφορετικές δυάδες από τα άλλα τρία χρώματα για να βάψετε τις άλλες δύο έδρες (δώδεκα τρόποι).
Όλες τις έδρες με διαφορετικά χρώματα. Αφού βάψετε την μπροστινή με ένα χρώμα και την κάτω έδρα με ένα άλλο, μπορείτε να βάψετε τη δεξιά έδρα με το τρίτο χρώμα και την αριστερή με το τέταρτο και αντιστρόφως (δύο τρόποι).
129. Κόκκινα και κίτρινα αυτοκόλλητα
Σε μια κατασκήνωση ο αρχηγός συγκέντρωσε τα παιδιά και τους είπε την εξής σπαζοκεφαλιά: Θα κολλούσε στην πλάτη κάθε παιδιού ένα αυτοκόλλητο, σε άλλα παιδιά κόκκινο και σε άλλα κίτρινο. Αν και κανένα παιδί δεν θα ήξερε το χρώμα του αυτοκόλλητου που θα είχε στην πλάτη του, θα έπρεπε να παραταχθούν σε μία σειρά, το ένα δίπλα στο άλλο, δεξιά όσα θα είχαν κόκκινο αυτοκόλλητο και αριστερά όσα θα είχαν κίτρινο. Δεν θα τους επιτρεπόταν, βεβαίως, να το βγάλουν από την πλάτη τους και να το δουν ή να το ανταλλάξουν με άλλο, να μιλήσουν μεταξύ τους ή να κάνουν νοήματα.
Αφού άφησε τα παιδιά αρκετή ώρα να σκεφτούν τι έπρεπε να κάνουν, κόλλησε ένα αυτοκόλλητο στην πλάτη του κάθε παιδιού και αυτά χωρίς καθυστέρηση παρατάχθηκαν σε μία σειρά, στη δεξιά μεριά όσα είχαν κόκκινο αυτοκόλλητο και στην αριστερή όσα είχαν κίτρινο. Πώς κατάφεραν να παραταχθούν όπως τους είχε ζητήσει ο αρχηγός;
Όσο και αν φαίνεται απίστευτο, δεν χρειαζόταν κανένα παιδί να ξέρει το χρώμα του αυτοκόλλητου που είχε στην πλάτη του. Η διαδικασία με την οποία επιτυγχάνεται μια τέτοια παράταξη, με δεδομένους τους περιορισμούς που αναφέρθηκαν, είναι η εξής:
Ένα παιδί στέκεται με την πλάτη γυρισμένη στα υπόλοιπα. Αν έχει κόκκινο αυτοκόλλητο, ένα δεύτερο παιδί στέκεται αριστερά από αυτό, γιατί μπορεί να έχει κίτρινο αυτοκόλλητο. Αν το πρώτο παιδί έχει κίτρινο αυτοκόλλητο, το δεύτερο στέκεται δεξιά από αυτό, γιατί μπορεί να έχει κόκκινο. Για τον ίδιο λόγο, αν τα δύο πρώτα παιδιά έχουν κόκκινο αυτοκόλλητο, το επόμενο παιδί στέκεται αριστερά από αυτά, ενώ, αν έχουν κίτρινο, στέκεται δεξιά από αυτά. Αν, όμως, τα δύο πρώτα παιδιά έχουν αυτοκόλλητο διαφορετικού χρώματος, μπαίνει ανάμεσά τους, ώστε, είτε έχει κόκκινο αυτοκόλλητο είτε έχει κίτρινο, να είναι δίπλα σε παιδί που έχει αυτοκόλλητο ίδιου χρώματος. Το ίδιο κάνει και κάθε επόμενο παιδί. Αφού προστεθούν μερικά παιδιά, θα υπάρχουν και τα δύο χρώματα στη σειρά, επομένως τα υπόλοιπα το μόνο που έχουν να κάνουν είναι να μπαίνουν ανάμεσα στα παιδιά με τα κόκκινα αυτοκόλλητα και στα παιδιά με τα κίτρινα. Έτσι, με αυτή την απλή και γρήγορη διαδικασία τα παιδιά με τα κόκκινα αυτοκόλλητα τοποθετούνται δεξιά και τα παιδιά με τα κίτρινα αριστερά.
130. Τα πλοία
Από δύο γειτονικά νησιά αναχωρούν ταυτοχρόνως πλοιάρια κάθε 20 λεπτά, για να πάνε από το ένα νησί στο άλλο, και το ταξίδι διαρκεί 1 ώρα. Κάθε πλοίο που φτάνει στο λιμάνι του προορισμού του παραμένει στην αποβάθρα για την αποβίβαση και την επιβίβαση των ταξιδιωτών και αναχωρεί για το γειτονικό νησί όταν έρχεται το επόμενο πλοίο. Πόσα πλοία της ίδιας γραμμής θα συναντήσετε αν ταξιδέψετε από το ένα νησί στο άλλο; Με τι ρυθμό γίνονται αυτές οι συναντήσεις; Πόσα πλοία χρησιμοποιούνται σε αυτή τη γραμμή;
Κατά την αναχώρηση του πλοίου σας, τέσσερα πλοία θα κατευθύνονται προς αυτό. Τα τρία πρώτα θα έχουν ξεκινήσει από το γειτονικό νησί πριν από 1 ώρα, 40 και 20 λεπτά αντίστοιχα και το τελευταίο θα αναχωρεί εκείνη τη στιγμή. Τρία ακόμη πλοία θα φύγουν από το γειτονικό νησί κατά τη διάρκεια του ταξιδιού σας. Επομένως, θα συναντήσετε 7 πλοία.
Αφού το ταξίδι διαρκεί 1 ώρα, κάθε 10 λεπτά θα συναντάτε ένα πλοίο: το 1ο κατά την αναχώρησή σας, το 2ο σε 10 λεπτά, … και το 7ο σε 60 λεπτά, ακριβώς στο τέλος του ταξιδιού σας. Βεβαίως, τα πλοία αναχωρούν από το γειτονικό νησί κάθε 20 λεπτά. Συνεπώς, μετά τη συνάντησή σας με ένα από αυτά, το επόμενο θα βρίσκεται μπροστά σας σε απόσταση 20 λεπτών. Δεν θα το συναντήσετε όμως σε 20 λεπτά, αλλά στη μέση της απόστασης που θα σας χωρίζει από αυτό, δηλαδή, όπως ειπώθηκε, σε 10 λεπτά, γιατί και αυτό θα κινείται προς εσάς, και μάλιστα με την ίδια ταχύτητα που θα κινείστε και εσείς.
Τα πλοία που χρησιμοποιούνται στη γραμμή είναι 8.
131. Ο ναυαγός
Ένας ναυαγός, ύστερα από μια αγωνιώδη προσπάθεια, κατάφερε να φτάσει σε ένα νησί. Δυστυχώς, όμως, οι ιθαγενείς του νησιού είχαν έναν απάνθρωπο νόμο: σε κάθε ξένο που έφτανε στο νησί τους έκαναν μία ερώτηση και, αν απαντούσε σωστά, τον κρεμούσαν, αλλιώς τον έκαιγαν. Στον ναυαγό έκαναν την εξής ερώτηση: «Τι λες, θα σε κρεμάσουμε ή θα σε κάψουμε;». Η απάντηση του ναυαγού ήταν τέτοια, που θα παρέβαιναν τον νόμο τους αν τον κρεμούσαν ή αν τον έκαιγαν, και έτσι αποφάσισαν να τον αφήσουν ελεύθερο. Τι είπε ο έξυπνος ναυαγός;
Ο ναυαγός είπε ότι θα τον έκαιγαν. Αν οι ιθαγενείς τον κρεμούσαν, ο ναυαγός θα είχε απαντήσει λάθος και θα έπρεπε να τον είχαν κάψει. Αν τον έκαιγαν, ο ναυαγός θα είχε απαντήσει σωστά και θα έπρεπε να τον είχαν κρεμάσει. Οι ιθαγενείς, λοιπόν, αν κρεμούσαν τον ναυαγό ή αν τον έκαιγαν, θα παρέβαιναν τον νόμο τους, για αυτό αποφάσισαν να τον αφήσουν ελεύθερο.
132. Μέρες αλήθειας και ψεύδους (Ι)
Δύο φίλοι έχουν περίεργη συμπεριφορά. Ο ένας λέει ψέματα τη Δευτέρα, την Τρίτη και την Τετάρτη, αλλά λέει την αλήθεια τις υπόλοιπες μέρες. Ο άλλος λέει ψέματα την Πέμπτη, την Παρασκευή και το Σάββατο, αλλά λέει την αλήθεια όλες τις άλλες μέρες.
α) Μια μέρα, ο ένας από τους δύο φίλους είπε στον άλλον: «Χθες, έλεγα ψέματα». Και ο άλλος απάντησε: «Το ίδιο και εγώ». Τι μέρα ήταν;
β) Μια μέρα, κάποιος ρώτησε τον καθένα από τους δύο φίλους αν τη Δευτέρα λέει την αλήθεια. Ο ένας απάντησε καταφατικά και ο άλλος αρνητικά. Τι μέρα ήταν;
α) Η μέρα που οι δύο φίλοι αντάλλαξαν αυτά τα λόγια δεν ήταν Κυριακή. Την Κυριακή και οι δύο φίλοι λένε την αλήθεια, όμως το Σάββατο μόνο ο ένας λέει ψέματα, ο άλλος λέει την αλήθεια. Καμία άλλη μέρα δεν λένε και οι δύο την αλήθεια, και καμία μέρα δεν λένε και οι δύο ψέματα. Άρα, ο ένας έλεγε την αλήθεια και την προηγούμενη μέρα όντως έλεγε ψέματα, ενώ ο άλλος έλεγε ψέματα και την προηγούμενη μέρα έλεγε την αλήθεια. Επομένως, ήταν Πέμπτη και μιλούσαν για την προηγούμενη μέρα, την Τετάρτη.
β) Τη Δευτέρα ο ένας λέει την αλήθεια και ο άλλος ψέματα. Αφού ο ένας απάντησε ότι λέει την αλήθεια τη Δευτέρα και ο άλλος ότι λέει ψέματα, είτε και οι δύο φίλοι είπαν την αλήθεια είτε και οι δύο είπαν ψέματα. Η μόνη μέρα που έχουν την ίδια συμπεριφορά είναι η Κυριακή, που και οι δύο λένε την αλήθεια. Επομένως, η μέρα που έδωσαν αυτές τις απαντήσεις ήταν Κυριακή.
133. Το σακούλι με τις μπίλιες
Ένα σακούλι περιέχει μία μπίλια που είναι είτε άσπρη είτε μαύρη. Βάζετε μία άσπρη μπίλια μέσα στο σακούλι και τις ανακατεύετε. Τώρα, παίρνετε μία μπίλια μέσα από το σακούλι και βλέπετε ότι είναι άσπρη. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι άσπρη και η άλλη μπίλια;
Ίσως σκεφτήκατε ότι το αρχικό περιεχόμενο του σακουλιού δεν άλλαξε —μία άσπρη μπίλια βάλατε και μία άσπρη βγάλατε— και, επομένως, η πιθανότητα να είναι άσπρη η μπίλια που βρίσκεται μέσα στο σακούλι είναι όση ήταν αρχικά, δηλαδή 1/2. Αυτό όμως δεν είναι σωστό. Υπάρχουν τρεις περιπτώσεις:
α) Η αρχική μπίλια είναι μαύρη και πήρατε πίσω την μπίλια που βάλατε.
β) Η αρχική μπίλια είναι άσπρη και πήρατε πίσω την μπίλια που βάλατε.
γ) Η αρχική μπίλια είναι άσπρη και πήρατε αυτή την μπίλια.
Επομένως, η μπίλια που βρίσκεται μέσα στο σακούλι είναι άσπρη σε δύο από τις τρεις περιπτώσεις. Η πιθανότητα, λοιπόν, να είναι άσπρη αυτή η μπίλια είναι 2/3.
134. Ζυγίζοντας ανά δύο
Σε μια μεταφορική εταιρεία, ένας υπάλληλος ζύγισε ανά δύο πέντε κιβώτια για να βρει ποια ήταν τα δύο βαρύτερα, αντί να ζυγίσει το καθένα μόνο του. Συνολικά έκανε δέκα ζυγίσεις και βρήκε τα εξής αποτελέσματα: 32, 35, 37, 38, 39, 40, 41, 43, 44 και 47 κιλά. Τα δύο βαρύτερα, βεβαίως, ήταν αυτά που ζύγιζαν μαζί 47 κιλά. Ποια ήταν τα βάρη των πέντε κιβωτίων;
Το άθροισμα όλων των ζυγίσεων ήταν 396 κιλά. Κάθε κιβώτιο ζυγίστηκε με καθένα από τα άλλα τέσσερα. Άρα, όλα τα κιβώτια ζυγίστηκαν τέσσερις φορές. Συνεπώς, το συνολικό βάρος των πέντε κιβωτίων ήταν 396/4 = 99 κιλά. Έστω Α, Β, Γ, Δ και Ε τα πέντε κιβώτια κατά σειρά αυξανόμενου βάρους. Τα κιβώτια Α και Β ήταν τα δύο ελαφρύτερα, άρα ζύγιζαν μαζί 32 κιλά. Το ζεύγος των κιβωτίων Α και Γ ήταν βαρύτερο από το ζεύγος των Α και Β, αλλά ελαφρύτερο από κάθε άλλο ζεύγος, άρα ζύγιζε 35 κιλά. Τα κιβώτια Δ και Ε ήταν τα δύο βαρύτερα, άρα ζύγιζαν μαζί 47 κιλά. Το Γ μαζί με το Ε είχαν μικρότερο βάρος από το ζεύγος των κιβωτίων Δ και Ε, αλλά μεγαλύτερο από κάθε άλλο ζεύγος, άρα ζύγιζαν 44 κιλά. Άρα, τα τέσσερα κιβώτια Α, Β, Δ και Ε είχαν βάρος 32 + 47 = 79 κιλά. Τα πέντε κιβώτια είχαν βάρος 99 κιλά, άρα το Γ είχε βάρος 99 − 79 = 20 κιλά. Επομένως, το βάρος του Α ήταν 35 − 20 = 15 κιλά, του Β ήταν 32 − 15 = 17 κιλά, του Ε ήταν 44 − 20 = 24 κιλά και του Δ ήταν 47 − 24 = 23 κιλά.
135. Συναντήσεις
Ένας άνδρας και μια γυναίκα, που ζουν σε γειτονικά χωριά, ξεκίνησαν μια μέρα ταυτόχρονα από τα χωριά τους με τα ποδήλατά τους, έχοντας μια υπόθεση να κανονίσουν ο καθένας στο χωριό του άλλου. Κινούμενοι στον μοναδικό δρόμο που συνδέει τα δύο χωριά, συναντήθηκαν σε ένα σημείο που απέχει 2 χιλιόμετρα από το χωριό της γυναίκας και τα είπανε για λίγο. Και ο άνδρας και η γυναίκα, όταν έφτασαν στον προορισμό τους, δεν χρειάστηκαν παρά μόνο 10 λεπτά για να κανονίσουν την υπόθεσή τους. Έπειτα, χωρίς καμία καθυστέρηση, ξεκίνησε ο καθένας για το χωριό του. Κατά την επιστροφή στα χωριά τους, συναντήθηκαν σε ένα σημείο που απέχει 1 χιλιόμετρο από το χωριό του άνδρα. Σε όλη τη διαδρομή και οι δύο προχωρούσαν με σταθερή ταχύτητα, διαφορετική βεβαίως ο ένας από τον άλλον. Πόση άραγε είναι η απόσταση του ενός χωριού από το άλλο;
Την πρώτη φορά που συναντήθηκαν, είχαν καλύψει με τη συνδυασμένη κίνησή τους την απόσταση μεταξύ των δύο χωριών. Στη δεύτερη συνάντησή τους, είχαν καλύψει αυτή την απόσταση τρεις φορές. Συνεπώς, η γυναίκα είχε διανύσει τριπλάσια απόσταση όταν συναντήθηκαν τη δεύτερη φορά από αυτήν που είχε διανύσει όταν συναντήθηκαν την πρώτη φορά, δηλαδή είχε διανύσει 3 × 2 = 6 χιλιόμετρα. Άρα, η απόσταση από το χωριό της έως το χωριό του άνδρα και από εκεί έως το σημείο όπου συναντήθηκαν τη δεύτερη φορά είναι 6 χιλιόμετρα. Η δεύτερη συνάντηση όμως έγινε 1 χιλιόμετρο έξω από το χωριό του άνδρα, επομένως η απόσταση μεταξύ των δύο χωριών είναι 6 − 1 = 5 χιλιόμετρα.
136. Λαϊκή αγορά
Μια κυρία αγόρασε βερίκοκα και ροδάκινα από τη λαϊκή αγορά, τόσα κιλά από το ένα είδος φρούτων όσα και από το άλλο. Τα βερίκοκα κόστιζαν 3 ευρώ το κιλό και τα ροδάκινα 1 ευρώ το κιλό. Ο σύζυγός της υπολόγισε ότι θα είχε αγοράσει 2 κιλά φρούτα επιπλέον αν με τα μισά από τα χρήματα που ξόδεψε είχε αγοράσει βερίκοκα και με τα άλλα μισά ροδάκινα. Πόσα κιλά βερίκοκα και πόσα κιλά ροδάκινα αγόρασε αυτή η κυρία;
Αν αυτή η κυρία είχε αγοράσει 1 κιλό βερίκοκα και 1 κιλό ροδάκινα, θα είχε ξοδέψει 4 ευρώ. Αν είχε διαθέσει 2 ευρώ για βερίκοκα και 2 ευρώ για ροδάκινα, θα είχε αγοράσει 2/3 του κιλού βερίκοκα και 2 κιλά ροδάκινα. Επομένως, θα είχε αγοράσει 2/3 του κιλού φρούτα επιπλέον. Όμως, ο σύζυγός της υπολόγισε ότι με τα χρήματα που ξόδεψε, αν είχε ακολουθήσει τη δική του ιδέα, θα είχε αγοράσει 2 κιλά επιπλέον. Τα 2 κιλά είναι τριπλάσια ποσότητα από τα 2/3 του κιλού, συνεπώς αυτή η κυρία διέθεσε ποσό τριπλάσιο από τα 4 ευρώ, δηλαδή διέθεσε 12 ευρώ, και αγόρασε τριπλάσιες ποσότητες φρούτων. Επομένως, αγόρασε 3 κιλά βερίκοκα και 3 κιλά ροδάκινα.
137. Μαγικά τετράγωνα
Στον παρακάτω πίνακα 3 × 3, οι αριθμοί από το1 έως το 9 είναι τοποθετημένοι σε τέτοιες θέσεις, ώστε το άθροισμα των αριθμών σε οποιαδήποτε γραμμή, στήλη και διαγώνιο να είναι 15.
Τέτοιοι τετραγωνικοί πίνακες, όπου το άθροισμα των αριθμών σε κάθε γραμμή τους, σε κάθε στήλη τους και στις δύο διαγώνιές τους είναι το ίδιο, ονομάζονται μαγικά τετράγωνα. Τα μαγικά τετράγωνα ανήκουν σε διαφορετικές τάξεις ανάλογα με τις διαστάσεις τους, π.χ., ένα μαγικό τετράγωνο που έχει τρεις γραμμές και, συνεπώς, τρεις στήλες είναι τάξης 3 ή τρίτης τάξης.
Οι τρόποι δημιουργίας μαγικών τετραγώνων περιττής τάξης είναι απλοί στην περίπτωση που χρησιμοποιούνται διαδοχικοί ακέραιοι που ξεκινούν από τον αριθμό 1, σε αντίθεση με τους τρόπους για τα άρτιας τάξης. Ένας τρόπος για να δημιουργήσετε ένα τέτοιο μαγικό τετράγωνο περιττής τάξης είναι ο εξής:
Πρώτα, τοποθετήστε τον αριθμό 1 στο μεσαίο κελί της πάνω γραμμής. Μετά, τοποθετήστε τους επόμενους αριθμούς, τον έναν μετά τον άλλον, προχωρώντας διαγωνίως προς τα πάνω και δεξιά. Όταν αυτή η κίνηση σας βγάζει έξω από το τετράγωνο από την πάνω πλευρά του, όπως συμβαίνει ευθύς εξαρχής με την τοποθέτηση του αριθμού 2, συνεχίζετε από την κάτω πλευρά του σαν να βρίσκεται η τελευταία γραμμή του τετραγώνου πάνω από την πρώτη. Ομοίως, όταν αυτή η κίνηση σας βγάζει έξω από το τετράγωνο από τη δεξιά πλευρά του, συνεχίζετε από την αριστερή πλευρά του, σαν να βρίσκεται η πρώτη στήλη του τετραγώνου μετά την τελευταία. Τέλος, όταν φτάνετε σε κελί που είναι ήδη συμπληρωμένο, τοποθετείτε τον αριθμό κάτω από το κελί που συμπληρώσατε τελευταίο.
Αυτός ο τρόπος φαίνεται στο παρακάτω σχήμα για το μαγικό τετράγωνο τρίτης τάξης.
Υπάρχει μόνο ένα μαγικό τετράγωνο τρίτης τάξης με αριθμούς από το 1 έως το 9, αν εξαιρεθούν τα μαγικά τετράγωνα που προκύπτουν από την ανάκλαση και την περιστροφή του.
Ο αριθμός που υπάρχει στο κεντρικό κελί του μαγικού τετραγώνου τρίτης τάξης μπορεί να βρεθεί χωρίς την εφαρμογή της παραπάνω μεθόδου, ως εξής:
Το άθροισμα των αριθμών από το 1 έως το 9 είναι 45. Άρα, το άθροισμα των αριθμών σε κάθε γραμμή, σε κάθε στήλη και στις δύο διαγώνιες του τετραγώνου τρίτης τάξης είναι 45/3 = 15. Συνεπώς, το άθροισμα των αριθμών της μεσαίας γραμμής, της μεσαίας στήλης και των δύο διαγωνίων είναι 4 ⋅ 15 = 60. Αυτοί οι αριθμοί είναι όλοι οι αριθμοί του τετραγώνου, οι οποίοι έχουν άθροισμα 45, συν τρεις φορές ο αριθμός του κεντρικού κελιού. Άρα, το τριπλάσιο του αριθμού που βρίσκεται στο κεντρικό κελί είναι 60 − 45 = 15. Επομένως, αυτός ο αριθμός είναι ίσος με 15/3 = 5.
Εφαρμόστε τη μέθοδο δημιουργίας μαγικών τετράγωνων περιττής τάξης που περιγράφηκε προηγουμένως για να δημιουργήσετε, πρώτον, ένα μαγικό τετράγωνο πέμπτης τάξης και, δεύτερον, ένα μαγικό τετράγωνο έβδομης τάξης.
138. Ειλικρινείς και ψεύτες (VΙ)
Ο κάθε κάτοικος ενός νησιού είναι είτε ειλικρινής είτε ψεύτης. Οι ειλικρινείς κάτοικοι λένε πάντα την αλήθεια και οι ψεύτες λένε πάντα ψέματα. Ένας ξένος ρώτησε τρεις κατοίκους του νησιού —τον Α, τον Β και τον Γ— αν είναι ειλικρινείς ή ψεύτες και πήρε τις εξής απαντήσεις:
Ο Α είπε: «Ο Β είναι ψεύτης».
Ο Β είπε: «Ο Γ είναι ψεύτης».
Ο Γ είπε: «Ο Α και ο Β είναι ψεύτες».
Τι είναι ο καθένας, ειλικρινής ή ψεύτης;
Ο Α και ο Γ είναι ψεύτες και ο Β είναι ειλικρινής.
Υποθέστε ότι ο Α είναι ειλικρινής. Τότε, ο Β είναι ψεύτης και ο Γ δεν είναι ψεύτης, είναι ειλικρινής. Ο ισχυρισμός του Γ, όμως, αντιφάσκει με την υπόθεση ότι ο Α είναι ειλικρινής. Συνεπώς, ο Α δεν είναι ειλικρινής, είναι ψεύτης. Αφού ο Α είπε ψέματα, ο Β δεν είναι ψεύτης, είναι ειλικρινής, και άρα ο Γ είναι ψεύτης.
139. Ο λογαριασμός
Μια παρέα φοιτητών πήγε σε μια ταβέρνα, όπου έφαγαν και διασκέδασαν. Όταν ήρθε ο λογαριασμός, δύο είχαν φύγει και οι υπόλοιποι πλήρωσαν 2 ευρώ παραπάνω ο καθένας από ό,τι θα πλήρωναν αν οι φίλοι τους δεν είχαν φύγει. Ο λογαριασμός ήταν 48 ευρώ και πάντοτε τον μοιράζονταν. Πόσοι ήταν όταν πήγαν στην ταβέρνα;
Στην ταβέρνα πήγαν 8 φοιτητές. Σκεφτείτε το 48 ως γινόμενο δύο αριθμών που η διαφορά τους να είναι 2, δηλαδή ως 8 · 6. Πήγαν, λοιπόν, 8 φοιτητές στην ταβέρνα και ο καθένας θα πλήρωνε 6 ευρώ, όμως έμειναν 6 και ο καθένας πλήρωσε 8 ευρώ. Είναι πραγματικά πολύ ενδιαφέρον ότι αυτό το πρόβλημα, που η λύση του είναι η ρίζα μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης, μπορεί να λυθεί με αυτόν τον απλό και έξυπνο τρόπο.
140. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής
Ποιες είναι οι σωστές απαντήσεις στις παρακάτω ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής;
1η ερώτηση
Η μόνη ερώτηση που έχει σωστή απάντηση τη Γ είναι:
Α) Η 1η ερώτηση.
Β) Η 2η ερώτηση.
Γ) Η 3η ερώτηση.
2η ερώτηση
Η σωστή απάντηση στην 1η ερώτηση είναι:
Α) Η Γ.
Β) Η Α.
Γ) Η Β.
3η ερώτηση
Η σωστή απάντηση στη 2η ερώτηση είναι:
Α) Η Γ.
Β) Η Α.
Γ) Η Β.
Η σωστή απάντηση στην 1η ερώτηση δεν μπορεί να είναι η Α, η οποία λέει ότι η 1η ερώτηση έχει σωστή απάντηση τη Γ.
Η σωστή απάντηση στην 1η ερώτηση δεν μπορεί να είναι ούτε η Γ, η οποία λέει ότι η 3η ερώτηση είναι η μόνη που έχει σωστή απάντηση τη Γ.
Άρα, η σωστή απάντηση στην 1η ερώτηση είναι η Β.
Η σωστή απάντηση λοιπόν στη 2η ερώτηση είναι η Γ.
Η σωστή απάντηση στην 3η ερώτηση είναι βεβαίως η Α.
Last updated