141 - 157
141. Η ηλικία (ΙV)
Ένας πατέρας έχει τετραπλάσια ηλικία από τον γιο του. Σε είκοσι χρόνια η ηλικία του θα είναι διπλάσια από του γιου του. Ποια είναι η ηλικία του;
Η ηλικία του γιου είναι ίση με το ένα τρίτο της διαφοράς που έχει η ηλικία του πατέρα από τη δική του. Σε είκοσι χρόνια, η ηλικία του γιου θα είναι ίση με τη διαφορά των ηλικιών τους, άρα η ηλικία του γιου θα έχει τριπλασιαστεί. Επομένως, ο γιος είναι δέκα ετών και ο πατέρας σαράντα ετών.
142. Τα κελιά
Σε μια φυλακή υπήρχαν 100 φυλακισμένοι και 100 φύλακες. Ο κάθε φυλακισμένος κρατείτο σε διαφορετικό κελί και τα κελιά ήταν στη σειρά και αριθμημένα από το 1 έως το 100. Κάποια μέρα, και ενώ όλοι οι κρατούμενοι βρίσκονταν στα κελιά τους και οι πόρτες των κελιών ήταν κλειδωμένες, οι φύλακες αποφάσισαν να ξεκλειδώσουν τις πόρτες μερικών κελιών με έναν περίεργο τρόπο: Πέρασαν από τα κελιά, ο ένας μετά τον άλλον, και ο πρώτος φύλακας ξεκλείδωσε την πόρτα σε όλα τα κελιά, ο δεύτερος φύλακας κλείδωσε την πόρτα σε κάθε δεύτερο κελί, ο τρίτος φύλακας κλείδωσε την πόρτα σε κάθε τρίτο κελί αν δεν ήταν κλειδωμένη ή την ξεκλείδωσε αν ήταν κλειδωμένη, ο τέταρτος έκανε το ίδιο σε κάθε τέταρτο κελί, ο πέμπτος σε κάθε πέμπτο κ.ο.κ. Τελικά, σε ποια κελιά έμεινε ξεκλείδωτη η πόρτα;
Ο πρώτος φύλακας πήγε σε όλα τα κελιά, ο δεύτερος φύλακας πήγε στα κελιά των οποίων ο αριθμός διαιρείτο με το 2, ο τρίτος φύλακας πήγε στα κελιά των οποίων ο αριθμός διαιρείτο με το 3 κ.ο.κ. Στο τέλος, έμειναν κλειδωμένες οι πόρτες των κελιών στα οποία πήγε άρτιος αριθμός φυλάκων και ξεκλείδωτες των κελιών στα οποία πήγε περιττός αριθμός φυλάκων. Άρα, οι πόρτες των κελιών των οποίων ο αριθμός είχε άρτιο πλήθος διαιρετών έμειναν κλειδωμένες και οι πόρτες των κελιών των οποίων ο αριθμός είχε περιττό πλήθος διαιρετών έμειναν ξεκλείδωτες.
Το πηλίκο που βρίσκεται από τη διαίρεση ενός φυσικού αριθμού με κάποιον διαιρέτη του είναι επίσης διαιρέτης αυτού του αριθμού. Συνεπώς, το πλήθος των διαιρετών κάθε φυσικού αριθμού είναι άρτιο, εκτός και αν κάποιος από τους διαιρέτες του είναι ίσος με το αντίστοιχο πηλίκο. Αυτό συμβαίνει στα τετράγωνα των φυσικών αριθμών και, επομένως, αυτά έχουν περιττό πλήθος διαιρετών. Για παράδειγμα, οι διαιρέτες του 10 είναι τέσσερις —το 1, το 2, το 5 και το 10—, οι διαιρέτες όμως του 4, επειδή είναι το τετράγωνο του 2, είναι τρεις —το 1, το 2 και το 4.
Επομένως, έμειναν ξεκλείδωτες οι πόρτες των κελιών που είχαν τους αριθμούς 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 και 100.
143. Το ορθογώνιο με την ορθογώνια τρύπα
Το παρακάτω ορθογώνιο έχει μία ορθογώνια τρύπα στο κέντρο του. Βρείτε έναν τρόπο να το χωρίσετε σε δύο ίσα τμήματα τα οποία, αν τα συνδυάσετε κατάλληλα, να σχηματίσουν ένα τετράγωνο χωρίς καμία τρύπα.
Χωρίστε το ορθογώνιο όπως φαίνεται στο πρώτο σχήμα και συνδυάστε τα δύο τμήματα όπως φαίνεται στο δεύτερο σχήμα.
144. Οι πέντε μπίλιες
Υποθέστε ότι έχετε μπροστά σας πέντε μπίλιες και έναν ισοσκελή ζυγό. Τέσσερις από τις μπίλιες είναι άσπρες και μία είναι κόκκινη και όλες φαίνονται να έχουν το ίδιο μέγεθος. Μία από τις άσπρες μπίλιες —δεν γνωρίζετε ποια από τις τέσσερις— μπορεί να είναι λίγο βαρύτερη ή λίγο ελαφρύτερη από την κόκκινη μπίλια, αλλά μπορεί και να μην είναι, ενώ οι άλλες τρεις έχουν το ίδιο βάρος με την κόκκινη μπίλια. Μπορείτε να εξακριβώσετε αν κάποια από τις άσπρες μπίλιες είναι ελαφρύτερη ή βαρύτερη από την κόκκινη με δύο μόνο ζυγίσεις;
Τοποθετείτε δύο άσπρες μπίλιες στον αριστερό δίσκο και μία άσπρη μπίλια μαζί με την κόκκινη στον δεξιό δίσκο.
1η περίπτωση: Ο ζυγός ισορροπεί.
Σε αυτή την περίπτωση, οι τρεις άσπρες μπίλιες που τοποθετήσατε στον ζυγό έχουν το ίδιο βάρος με την κόκκινη.
Τοποθετείτε την τέταρτη άσπρη μπίλια στον έναν δίσκο και την κόκκινη στον άλλον.
Αν ο ζυγός ισορροπεί, και αυτή η άσπρη μπίλια έχει το ίδιο βάρος με την κόκκινη.
Αν ο ζυγός γέρνει, συμπεραίνετε από την κλίση του αν η άσπρη μπίλια είναι ελαφρύτερη ή βαρύτερη από την κόκκινη.
2η περίπτωση: Ο ζυγός γέρνει προς τα αριστερά.
Σε αυτή την περίπτωση, μια από τις δύο άσπρες μπίλιες του αριστερού δίσκου είναι βαρύτερη από την κόκκινη ή η άσπρη μπίλια που είναι μαζί με την κόκκινη στον δεξιό δίσκο είναι ελαφρύτερη από την κόκκινη.
Αφήνετε τη μία από τις δύο μπίλιες στον αριστερό δίσκο και τοποθετείτε την άλλη μόνη της στον δεξιό δίσκο.
Αν ο ζυγός ισορροπεί, η μπίλια που τοποθετήσατε στον δεξιό δίσκο στην πρώτη ζύγιση είναι ελαφρύτερη από την κόκκινη.
Αν ο ζυγός γέρνει, συμπεραίνετε από την κλίση του ποια από τις δύο άσπρες μπίλιες είναι βαρύτερη και, επομένως, είναι βαρύτερη και από την κόκκινη.
3η περίπτωση: Ο ζυγός γέρνει προς τα δεξιά.
Σε αυτή την περίπτωση, μια από τις δύο άσπρες μπίλιες του αριστερού δίσκου είναι ελαφρύτερη από την κόκκινη ή η άσπρη μπίλια που είναι μαζί με την κόκκινη στον δεξιό δίσκο είναι βαρύτερη από την κόκκινη.
Αφήνετε τη μία από τις δύο μπίλιες στον αριστερό δίσκο και τοποθετείτε την άλλη μόνη της στον δεξιό δίσκο.
Αν ο ζυγός ισορροπεί, η μπίλια που τοποθετήσατε στον δεξιό δίσκο στην πρώτη ζύγιση είναι βαρύτερη από την κόκκινη.
Αν ο ζυγός γέρνει, συμπεραίνετε από την κλίση του ποια από τις δύο άσπρες μπίλιες είναι ελαφρύτερη και, επομένως, είναι ελαφρύτερη και από την κόκκινη.
145. Το δηλητηριασμένο κρασί (I)
Ένας κατάσκοπος, τον παλιό καιρό, μπήκε στο κελάρι ενός παλατιού, όπου βρίσκονταν οκτώ βαρέλια γεμάτα με κρασί, και δηλητηρίασε το κρασί που περιείχε το ένα από αυτά. Η κατάποση ακόμη και της παραμικρής ποσότητας από το δηλητηριασμένο κρασί μπορούσε να επιφέρει τον θάνατο. Τα πρώτα συμπτώματα ήταν έντονη αδιαθεσία και υψηλός πυρετός και εμφανίζονταν έπειτα από διάστημα μερικών ημερών από την εισαγωγή του δηλητηρίου στον οργανισμό. Ευτυχώς, σε αυτό το βασίλειο διέθεταν το αντίδοτο για το συγκεκριμένο δηλητήριο και το χορηγούσαν αμέσως σε όποιον εμφάνιζε τα πρώτα συμπτώματα, συνεπώς κανείς δεν επρόκειτο να πεθάνει αν έπινε κάποια ποσότητα από το δηλητηριασμένο κρασί. Όταν ο βασιλιάς ενημερώθηκε για την πράξη του κατασκόπου, διέταξε τον δεσμοφύλακα να χρησιμοποιήσει εθελοντές φυλακισμένους για να βρει σε ποιο από τα οκτώ βαρέλια το κρασί ήταν δηλητηριασμένο. Ποιος ήταν ο ελάχιστος αριθμός φυλακισμένων που έπρεπε να χρησιμοποιήσει ο δεσμοφύλακας για να προσδιορίσει το συντομότερο δυνατόν το βαρέλι με το δηλητηριασμένο κρασί;
Έπρεπε να πιει κρασί από το κάθε βαρέλι διαφορετικός συνδυασμός φυλακισμένων. Για να γίνει αυτό, αρκούσαν τρεις εθελοντές φυλακισμένοι. Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται από ποια βαρέλια έπρεπε να πιει κρασί ο καθένας.
O δεσμοφύλακας θα μπορούσε να συμπεράνει ποιο βαρέλι περιείχε το δηλητηριασμένο κρασί από το ποιοι φυλακισμένοι θα αρρώσταιναν με υψηλό πυρετό. Για παράδειγμα, αν αρρώσταιναν ο 2ος και 3ος φυλακισμένος, θα είχε δηλητηριαστεί το κρασί του 7ου βαρελιού. Αν δεν αρρώσταινε κανείς, θα είχε δηλητηριαστεί το κρασί του 1ου βαρελιού.
146. Σύρμα γύρω από τη Γη
Υποθέστε ότι ένα σύρμα τυλίγεται γύρω από τη Γη, σε σταθερό ύψος πάνω από τον ισημερινό. Το σύρμα έχει μήκος μεγαλύτερο από τον ισημερινό κατά ένα μέτρο. Άραγε, θα μπορούσε μια γάτα να περάσει κάτω από το σύρμα; Θεωρήστε ότι η Γη είναι μια τέλεια σφαίρα.
Ο ισημερινός έχει μήκος ίσο με 2πR, όπου R η ακτίνα της Γης. Ο συρμάτινος κύκλος γύρω από τη Γη έχει μήκος ίσο με 2πR + 1 και ακτίνα ίση με (2πR + 1)/2π, δηλαδή R + 1/2π. Η ακτίνα αυτή είναι μεγαλύτερη από την ακτίνα της Γης κατά 1/2π = 16 εκατοστά. Άρα, μια γάτα θα μπορούσε να περάσει κάτω από το σύρμα.
147. Πιθανότητες
Ποια είναι η πιθανότητα να στρίψετε ένα νόμισμα τρεις φορές και να έρθει, πρώτον, τρεις φορές κεφαλή και, δεύτερον, δύο φορές κεφαλή και μία φορά γράμματα;
Την πρώτη φορά που θα στρίψετε το νόμισμα, αυτό μπορεί να έρθει είτε κεφαλή είτε γράμματα. Όποιο και αν είναι το αποτέλεσμα του πρώτου στριψίματος, τη δεύτερη φορά μπορεί επίσης να έρθει είτε κεφαλή είτε γράμματα. Άρα, αν η κεφαλή συμβολιστεί με Κ και τα γράμματα με Γ, οι δυνατές περιπτώσεις για το αποτέλεσμα δύο στριψιμάτων του νομίσματος είναι οι εξής: ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ και ΓΓ. Όποιο και αν είναι το αποτέλεσμα των δύο πρώτων στριψιμάτων, την τρίτη φορά το νόμισμα μπορεί βεβαίως να έρθει είτε κεφαλή είτε γράμματα. Άρα, οι δυνατές περιπτώσεις για το αποτέλεσμα τριών στριψιμάτων του νομίσματος είναι οι εξής οκτώ: ΚΚΚ, ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΚΓΓ, ΓΚΚ, ΓΚΓ, ΓΓΚ και ΓΓΓ.
Σε μία από τις οκτώ δυνατές περιπτώσεις το νόμισμα έρχεται τρεις φορές κεφαλή και σε τρεις περιπτώσεις έρχεται δύο φορές κεφαλή και μία φορά γράμματα. Άρα, η πιθανότητα να έρθει το νόμισμα τρεις φορές κεφαλή είναι 1/8 και η πιθανότητα να έρθει δύο φορές κεφαλή και μία γράμματα είναι 3/8.
148. Τα κάλαντα
Την παραμονή των Χριστουγέννων, μια παρέα παιδιών είπε τα κάλαντα σε ένα σπίτι. Η οικοδέσποινα έδωσε στα παιδιά χρήματα και τα παιδιά τα μοιράστηκαν. Αν ήταν ένα παιδί λιγότερο στην παρέα τους, κάθε παιδί θα έπαιρνε δύο ευρώ. Αν ήταν δύο παιδιά επιπλέον, κάθε παιδί θα έπαιρνε ένα ευρώ. Πόσα ήταν τα παιδιά και πόσα χρήματα πήρε το καθένα;
Αν ήταν δύο παιδιά επιπλέον στην παρέα τους, κάθε παιδί θα έπαιρνε ένα ευρώ. Αν ήταν ένα παιδί λιγότερο, κάθε παιδί θα έπαιρνε δύο ευρώ. Στην πρώτη περίπτωση τα παιδιά θα ήταν διπλάσια από ό,τι στη δεύτερη και η διαφορά θα ήταν τρία παιδιά. Επομένως, αν ήταν δύο παιδιά επιπλέον, τα παιδιά θα ήταν έξι. Άρα, τα παιδιά ήταν τέσσερα. Αν έλειπε ένα παιδί, τότε θα ήταν τρία και το καθένα θα έπαιρνε δύο ευρώ. Άρα, η οικοδέσποινα έδωσε στα παιδιά έξι ευρώ. Αφού τα παιδιά ήταν τέσσερα, το κάθε παιδί πήρε ενάμισι ευρώ.
149. Έλεγχος γεννήσεων
Μία φυλή ακολουθεί απαράβατα το εξής έθιμο αναπαραγωγής:
Κάθε οικογένεια της φυλής αποκτά όλο και περισσότερα παιδιά έως ότου να αποκτήσει το πρώτο της κορίτσι. Τότε, σταματά να αποκτά άλλα παιδιά.
Ποια είναι η αναλογία των αγοριών προς τα κορίτσια σε αυτή τη φυλή;
Είναι το ίδιο πιθανό το πρώτο παιδί κάθε οικογένειας να είναι αγόρι ή να είναι κορίτσι. Το πρώτο παιδί, λοιπόν, στις μισές οικογένειες είναι αγόρι και στις άλλες μισές είναι κορίτσι. Οι οικογένειες που το πρώτο τους παιδί είναι αγόρι αποκτούν και δεύτερο παιδί, και τα μισά από αυτά είναι πάλι αγόρια και τα άλλα μισά κορίτσια. Το ίδιο ισχύει και για το τρίτο και το τέταρτο παιδί κ.ο.κ. των οικογενειών που συνεχίζουν να αποκτούν παιδιά: τα μισά από αυτά είναι αγόρια και τα άλλα μισά κορίτσια. Επομένως, η αναλογία των αγοριών προς τα κορίτσια είναι πάντα 1 προς 1.
150. Η μικρότερη διαδρομή
Κάποιος ξεκινάει από το σπίτι του για να πάει μέχρι την όχθη ενός ποταμού, που περνάει σε κοντινή απόσταση, και μετά να επισκεφθεί ένα γειτονικό σπίτι. Στο παρακάτω σχέδιο, το σπίτι του βρίσκεται στο σημείο Α, το γειτονικό σπίτι στο σημείο Β και η όχθη του ποταμού είναι η ευθεία γραμμή. Σε ποιο σημείο της όχθης πρέπει να πάει για να είναι η συνολική απόσταση που θα διανύσει η ελάχιστη δυνατή;
Πρώτα, βρείτε το συμμετρικό του σημείου Α ως προς την όχθη, το σημείο Γ. Είτε κανείς ξεκινήσει από το σημείο Α για να πάει στο σημείο Β είτε ξεκινήσει από το σημείο Γ η απόσταση είναι η ίδια αν οι δύο διαδρομές περνούν από το ίδιο σημείο της όχθης. Όμως, η συντομότερη διαδρομή από το σημείο Γ έως το σημείο Β είναι η ευθεία γραμμή που ενώνει το σημείο Γ με το σημείο Β. Αυτή η γραμμή περνάει από το σημείο Δ της όχθης. Επομένως, σε αυτό το σημείο της όχθης πρέπει να πάει ο κάτοικος του σπιτιού που βρίσκεται στο σημείο Α πριν επισκεφτεί το σπίτι που βρίσκεται στο σημείο Β.
151. Ο βοσκότοπος
Σε ένα χωράφι υπάρχει χορτάρι που φύτρωσε μέσα σε 20 μέρες. Αν ένα πρόβατο βοσκήσει σε αυτό χωράφι, θα φάει όλο το χορτάρι σε 10 μέρες —αυτό που υπάρχει και αυτό που θα φυτρώσει στις 10 μέρες. Αν βοσκήσουν δύο πρόβατα, σε πόσες μέρες θα φάνε όλο το χορτάρι;
Έστω α η ημερήσια αύξηση της ποσότητας του χορταριού.
Ένα πρόβατο θα φάει όλο το χορτάρι σε 10 μέρες, δηλαδή θα φάει το χορτάρι που ήδη υπάρχει, ποσότητας 20α, καθώς και το χορτάρι που θα φυτρώσει σε αυτές τις 10 μέρες, ποσότητας 10α. Άρα, θα φάει χορτάρι ποσότητας 30α σε 10 μέρες. Επομένως, θα τρώει χορτάρι ποσότητας 3α κάθε μέρα.
Συνεπώς, δύο πρόβατα θα τρώνε χορτάρι ποσότητας 6α κάθε μέρα. Άρα, θα φάνε χορτάρι ποσότητας 24α σε 4 μέρες, δηλαδή θα φάνε το αρχικό, καθώς και αυτό που θα φυτρώσει σε αυτές τις 4 μέρες. Επομένως, θα φάνε όλο το χορτάρι σε 4 μέρες.
152. Ειλικρινείς και ψεύτες (VII)
Ο κάθε κάτοικος ενός νησιού είναι είτε ειλικρινής είτε ψεύτης. Οι ειλικρινείς κάτοικοι λένε πάντα την αλήθεια και οι ψεύτες λένε πάντα ψέματα. Ένας ξένος ρώτησε τρεις κατοίκους του νησιού —τον Α, τον Β και τον Γ— αν είναι ειλικρινείς ή ψεύτες και του απάντησαν μόνο ο Α και ο Β:
Ο Α είπε: «Είμαστε όλοι ψεύτες».
Ο Β είπε: «Μόνο ο ένας από μας είναι ειλικρινής».
Τι είναι ο καθένας, ειλικρινής ή ψεύτης;
Ο Α και ο Γ είναι ψεύτες και ο Β είναι ειλικρινής.
Αν ο Α ήταν ειλικρινής, δεν θα έλεγε ότι όλοι τους είναι ψεύτες και, συνεπώς, ότι και ο ίδιος είναι ψεύτης, γιατί αυτό θα ήταν ψέμα. Άρα, ο Α δεν είναι ειλικρινής, είναι ψεύτης. Αφού είναι ψεύτης, είναι ψέμα ότι και οι τρεις είναι ψεύτες. Συνεπώς, τουλάχιστον ο ένας από τους άλλους δύο είναι ειλικρινής. Αν ο Β ήταν και αυτός ψεύτης, δεν θα έλεγε ότι μόνο ο ένας από τους τρεις είναι ειλικρινής, γιατί αυτό θα ήταν αλήθεια. Άρα, ο Β δεν είναι ψεύτης, είναι ειλικρινής. Αφού ο Β είναι ειλικρινής, αυτό που είπε είναι αλήθεια. Επομένως, μόνο αυτός είναι ειλικρινής και ο Γ είναι ψεύτης.
153. Τα άλογα
Ένας Άραβας, αφού σκέφτηκε μέρες σε ποιον από τους δύο γιους του θα αφήσει την περιουσία του, αποφάσισε το εξής: Θα κληρονομούσε την περιουσία του εκείνος που το άλογο του θα ερχόταν δεύτερο σε έναν αγώνα δρόμου ανάμεσα στα άλογά τους με αναβάτες τους ίδιους. Όταν τους ανακοίνωσε την απόφασή του, οι δύο αδελφοί, όρισαν τη διαδρομή και αμέσως ίππευσαν τα άλογά τους, αλλά προχωρούσαν όσο πιο αργά μπορούσαν, επειδή προφανώς κανένας δεν ήθελε το άλογό του να έρθει πρώτο. Καταλαβαίνοντας ότι αυτός ο περίεργος αγώνας δεν θα τελείωνε ποτέ, τον εγκατέλειψαν και πήγαν να ζητήσουν τη συμβουλή ενός σοφού γέροντα. Ο σοφός γέροντας τους είπε τι να κάνουν και τα δύο αδέλφια ίππευσαν πάλι τα άλογα και άρχισαν να τρέχουν όσο πιο γρήγορα μπορούσαν. Τι τους είπε ο σοφός γέροντας;
Ο σοφός γέροντας τους είπε να ιππεύσει ο καθένας το άλογο του άλλου.
154. Πέντε βασίλισσες στην ευθεία
Τοποθετήστε πέντε βασίλισσες σε μια σκακιέρα σε ευθεία γραμμή και σε τέτοιες θέσεις, ώστε σε κάθε τετράγωνο της σκακιέρας να επιτίθεται τουλάχιστον μία από τις βασίλισσες. Με άλλα λόγια, οποιοδήποτε τετράγωνο της σκακιέρας να βρίσκεται στην ίδια οριζόντια, ή κάθετη, ή διαγώνια ευθεία με τουλάχιστον μία βασίλισσα. Υπάρχουν τέσσερις βασικές λύσεις. Πόσες μπορείτε να βρείτε;
Οι τέσσερις βασικές λύσεις φαίνονται στα παρακάτω σχήματα. Αν ληφθούν υπόψη και οι λύσεις που προκύπτουν από ανάκλαση ή περιστροφή αυτών των διατάξεων, τότε υπάρχουν είκοσι διαφορετικές λύσεις.
155. Κεφαλές και γράμματα
Τοποθετήστε πέντε όμοια νομίσματα στη σειρά, με την ορατή τους πλευρά να είναι κεφαλή γράμματα εναλλάξ, όπως φαίνεται στο σχήμα.
Προσπαθήστε, τώρα, να τα διατάξετε πάλι σε μία σειρά χωρίς κενά, όπου τα τρία πρώτα να είναι τα νομίσματα με ορατή πλευρά την κεφαλή και να ακολουθούν τα νομίσματα με ορατή πλευρά τα γράμματα. Ο μόνος επιτρεπτός τρόπος μετακίνησης των νομισμάτων είναι η ταυτόχρονη μεταφορά δύο διπλανών νομισμάτων σε μια άκρη της σειράς ή σε κενό που έχει δημιουργηθεί, χωρίς να αντιστραφεί η διάταξή τους. Μπορείτε να πραγματοποιήσετε τη ζητούμενη διάταξη με τρεις τέτοιες κινήσεις;
Στη συνέχεια, να επαναλάβετε την ίδια σπαζοκεφαλιά με επτά και εννέα νομίσματα. Ο απαιτούμενος αριθμός κινήσεων για τις δύο αυτές περιπτώσεις είναι τέσσερις και πέντε κινήσεις αντίστοιχα.
Η αρχική διάταξη των νομισμάτων, καθώς και οι διατάξεις που προκύπτουν από τις διαδοχικές κινήσεις παριστάνονται με γράμματα —Κ για την κεφαλή και Γ για τα γράμματα.
Αναδιάταξη 5 νομισμάτων
Κ Γ Κ Γ Κ
Κ Γ Κ Γ Κ
Κ Γ Γ Κ Κ
Κ Κ Κ Γ Γ
Αναδιάταξη 7 νομισμάτων
Κ Γ Κ Γ Κ Γ Κ
Κ Γ Κ Γ Κ Κ Γ
Κ Κ Κ Γ Κ Γ Γ
Κ Κ Κ Γ Γ Κ Γ
Κ Κ Κ Κ Γ Γ Γ
Αναδιάταξη 9 νομισμάτων
Κ Γ Κ Γ Κ Γ Κ Γ Κ
Κ Γ Κ Γ Κ Γ Κ Γ Κ
Κ Κ Γ Γ Κ Γ Κ Γ Κ
Κ Κ Γ Γ Κ Γ Γ Κ Κ
Κ Κ Κ Γ Γ Γ Γ Κ Κ
Κ Κ Κ Κ Κ Γ Γ Γ Γ
156. Οι τριανταφυλλιές
Μια κυρία έχει φυτέψει έξι τριανταφυλλιές στον κήπο της σε τέσσερις ευθείες σειρές, καθεμία από τις οποίες αποτελείται από τρεις τριανταφυλλιές. Τώρα, σκοπεύει να προσθέσει άλλες τέσσερις τριανταφυλλιές, έτσι ώστε όλες να σχηματίζουν πέντε ευθείες σειρές και η κάθε σειρά να αποτελείται από τέσσερις τριανταφυλλιές. Μπορείτε να κάνετε ένα σχέδιο όπου να φαίνεται ποια είναι η διάταξη των έξι τριανταφυλλιών που έχει φυτέψει και ποια θα είναι των άλλων τεσσάρων που πρόκειται να φυτέψει;
Η λύση για τις έξι τριανταφυλλιές φαίνεται στο πρώτο σχήμα. Για τις τέσσερις επιπλέον τριανταφυλλιές υπάρχουν έξι λύσεις, που φαίνονται στα επόμενα σχήματα.
157. Ένα τετράγωνο από δύο
Το παρακάτω σχήμα αποτελείται από δύο άνισα τετράγωνα ενωμένα μεταξύ τους. Χωρίστε αυτό το σχήμα σε τρία τμήματα τα οποία, αν τα συνδυάσετε κατάλληλα, να σχηματίσουν ένα τετράγωνο.
Το τετράγωνο που κατασκευάζεται από τα τμήματα του σχήματος έχει εμβαδόν προφανώς ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των δύο ενωμένων τετραγώνων. Επομένως, σύμφωνα με το πυθαγόρειο θεώρημα, η πλευρά του είναι ίση με την υποτείνουσα ορθογώνιου τριγώνου του οποίου οι κάθετες πλευρές είναι ίσες με τις πλευρές αυτών των δύο τετραγώνων. Σχεδιάστε, λοιπόν, ένα τέτοιο τετράγωνο σε κατάλληλη θέση πάνω στα δύο ενωμένα τετράγωνα, όπως φαίνεται στο πρώτο σχήμα. Έπειτα, συμπληρώστε το εσωτερικό του τετραγώνου με τα δύο τριγωνικά τμήματα που βρίσκονται έξω από αυτό, όπως φαίνεται στο δεύτερο σχήμα.
Last updated